Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

38 3.1 Exponentialfunktionen Ich lerne Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften kennen. Ich lerne Aussagen über die Gestalt des Graphen einer Exponentialfunktion zu machen und umgekehrt aus ihrem Graphen Aussagen über die Exponentialfunktion zu machen. Ich lerne zu zwei vorgegebenen Funktionswerten ein passendes Vielfaches einer Exponentialfunktion zu finden. Ich lerne Exponentialfunktionen in der Form f mit f(x) = e k·x anzuschreiben. Exponentialfunktionen und ihre Graphen Eine Biologin weiß, dass sich die von Bakterien bedeckte Fläche einer Petrischale in gleichen Zeitabständen immer um den glei- chen Faktor vergrößert. Sie beobachtet, dass sich die von Bak- terien bedeckte Fläche nach jeweils einer Stunde verdoppelt. Zu Beginn der Beobachtung ist 1mm 2 bedeckt. Nach 1 Stunde sind 2mm 2 , nach 2 Stunden 2·2 = 2 2 = 4mm 2 , nach 3 Stunden 2·4 = 2 3 = 8mm 2 , nach 4 Stunden 2·8 = 2 4 = 16mm 2 … bedeckt. Für jede natürliche Zahl n wird die Fläche nach n Stunden 2 n mm 2 betragen (falls keine äußeren Einflüsse oder Beschränkungen vorhanden sind). Wie groß war die von Bakterien bedeckte Fläche nach einer halben Stunde? Wir nehmen an, dass diese Fläche nach jeder halben Stunde jeweils das c-Fache der Fläche davor ist. Dann muss sie nach einer Stunde (also zwei halben Stunden) das c·c = c 2 -Fache sein, also ist c 2 = 2 und c = 9 _ 2 = 2 1 _ 2 . Nach drei halben Stunden sind dann 2 3 _ 2 mm 2 von Bakterien bedeckt. Auf ähnliche Weise überlegen wir uns für jede positive rationale Zahl t = p _ q (dabei sind p und q positive ganze Zahlen), dass die von den Bakterien zur Zeit t bedeckte Fläche 2 t = 2 p _ q = q 9 __ 2 p mm 2 ist. Man kann auch in die Vergangenheit gehen: 1 Stunde vor Beginn der Beobachtung muss die Fläche halb so groß, also 2 ‒1 mm 2 = 1 _ 2 mm 2 gewesen sein und t = p _ q Stunden vor Beginn der Beobachtung 2 ‒t = 2 ‒ p _ q = 1 _ q 9 __ 2 p mm 2 . Die Funktion, die jeder rationalen Zahl t die von Bakterien bedeckte Fläche (im mm 2 ) nach t Stunden zuordnet, ist also f: Q ¥ R mit f(t) = 2 t . Diese Funktion beschreibt das Wachstum der beobachteten Bakterienkultur. Statt 2 wie im Beispiel können wir irgendeine positive reelle Zahl a wählen und erhalten dazu die Funktion f: Q ¥ R , f(t) = a t die jeder rationalen Zahl t die Potenz a t zuordnet. Achtung Diese Funktion ist keine Potenzfunktion! Sie darf nicht mit der Funktion g: Q ¥ R , g(t) = t a verwechselt werden. Bislang haben wir Potenzen nur für rationale Hochzahlen erklärt. Wir wissen bereits, dass es reel- le Zahlen wie zum Beispiel 9 _ 2 oder π gibt, die sich nicht als Bruch anschreiben lassen. Was ist dann zum Beispiel 3 9 _ 2 oder 5 π ? Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum 9 des Verlags öbv