Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

34 Zusammenfassung Wird ein Kapital K 0 zu p% p.a. so angelegt, dass es jedes Jahr um die Zinsen vergrößert wird, dann ist das Kapital nach n Jahren gleich K n = K 0 ·q n . K 0 heißt das Anfangskapital oder der Barwert , K n das Endkapital oder der Endwert (nach n Jahren) und q = 1 + p _ 100 ist der Aufzinsungsfaktor . Banken rechnen bei vielen Geldgeschäften das Jahr zu 12 Monaten mit jeweils 30 Tagen. Das führt zu einem Bankjahr mit 360 Tagen. Der 31. Tag eines Monats wird dabei stets wie der 30. Tag behandelt. Die Anzahl der Tage, an welchen ein Kapital während eines Kalenderjahres verzinst wird, nennt man Zinstage . Der Tag der Einlage wird dabei nicht zu den Zinstagen gerechnet. Um die Anzahl der Zinstage zu ermitteln, wird das Bankjahr mit 360 Tagen zugrunde gelegt. Bei der sogenannten europäischen Methode wird dabei jedes Ausgangs- und Enddatum, das auf den 31. eines Monats fällt, zum 30. desselben Monats. Verzinst man ein Kapital K 0 für einen Zeitraum von d Tagen (weniger als ein Jahr), so ist beim Zinssatz i bzw. beim Aufzinsungsfaktor q das Endkapital bei praktischer (oder einfacher ) Verzinsung : bei theoretischer Verzinsung : K d _ 360 = K 0 · 2 1 + d _ 360 ·i 3 K d _ 360 = K 0 ·q d _ 360 = K 0 ·(1 + i) d _ 360 Wenn die Zinsperiode der m-te Teil eines Jahres ist, spricht man von unterjähriger Verzinsung und schreibt i m für den entsprechenden Zinssatz. Das so verzinste Anfangskapital K 0 hat nach einem Jahr den Endwert K 0 ​·​(1​+​​i​ m ) m . Speziell bezeichnet man mit i 2 den Semesterzinssatz (p.s.), mit i 4 den Quartalszinssatz (p.q.) und mit i 12 den Monatszinssatz (p.m.). Der effektive Jahreszinssatz oder kurz Effektivzinssatz i eff ist der jährliche Zinssatz, der zu demselben Endwert führen würde, also: 1 + i eff = (1 + i m ) m Das m-Fache von i m heißt nomineller Jahreszinssatz oder kurz Nominalzinssatz . Also: i nom ​=​m·​i​ m Für den zu i m äquivalenten Zinssatz i t gilt: i t = t 9 _____ (1 + i m ) m – 1 Für die entsprechenden Aufzinsungsfaktoren gilt: q t = t 9 ___ q m m Zwei Zinssätze i m und i t (dabei sind m und t positive ganze Zahlen) sind äquivalent , wenn sie dem gleichen Effektivzinssatz entsprechen, also wenn (1 + i m ) m = (1 + i t ) t ist. Bei einem (nominellen) Jahreszinssatz i erhält man bei stetiger Verzinsung für ein Kapital K 0 nach n Jahren den Endwert K(n) = K 0 ·e i·n . Zinseszinsen praktische und theoretische Verzinsung unterjährige Verzinsung stetige Verzinsung Zusammenfassung: Zins- und Zinseszinsrechnung Nur zu ​·​( ​·​( ​i ​i ) Prüfzwecken – Eigentum ) ​i ​i des Verlags K q öbv