Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

32 168 Reihe die Zinssätze nach der Größe ihrer Effektivzinssätze. Beginne mit dem kleinsten. a. 4% p.a.; 1% p.q.; 2% p.s. c. 0,75% p.m.; 2,2% p.q.; 9,15% p.a. b. 3% p.s.; 6,1% p.a.; 1,45% p.q. d. 1,825% p.q.; 0,6% p.m.; 3,75% p.s. 169 Amelie schätzt für einen Zinssatz von 6% p.a. einen äquivalenten Zinssatz von 3% p.s., 1,5% p.q. und 0,5% p.m. a. Für welche Schätzung ist der Fehler am größten? Begründe. b. Wird der Fehler der Schätzung größer, wenn Amelie von einem Jahreszinssatz von 9% p.a. ausgeht? Begründe. Stetige Verzinsung Wir stellen uns ein Kapital von 100000€ vor, das wir zu einem nominellen Jahreszinssatz von 3% p.a. ein Jahr lang bei immer kürzer werdenden Zinsperioden verzin- sen wollen. Erfolgt die Verzinsung jährlich, so erhalten wir am Ende des Jahres 100000·1,03 = 103000€. Bei halbjährlicher Verzinsung rechnen wir mit i 2 = 0,03 _ 2 = 0,015 und erhalten 100000·1,015 2 = 103022,5€. Bei vierteljährlicher und monatlicher Verzinsung erhalten wir mit i 4 = 0,03 _ 4 = 0,0075 und i 12 = 0,03 _ 12 = 0,0025 100000·1,0075 4 = 103033,91€ bzw. 100000·1,0025 12 = 103041,59€. Wie wir bereits im letzten Abschnitt gesehen haben, werden die Endwerte bei kürzeren Zins- perioden immer größer. Was würde nun passieren, wenn man das Kapital täglich, stündlich oder gar in noch kürzer werdenden Zeitabschnitten verzinsen würde? Würde der Endwert dadurch beliebig hoch, oder gibt es ein Grenze, die nicht überschritten werden kann? Um die Rechnungen überschaubarer zu machen, teilen wir das Jahr nicht in Tage, Stunden, Minuten, …, sondern in 100, 1 000, 10000, … gleich lange Zeitintervalle. Anzahl der Zinsperioden m Endwert = 100000· 2 1 + 0,03 _ m 3 m 100 103044,9898€ 1 000 103045,4070€ 10000 103045,4488€ 100000 103045,4529€ 1 000000 103045,4534€ 10000000 103045,4534€ Wir sehen: Die Beträge werden zwar immer größer, aber ab m = 100000 ändern sich zumindest die ersten beiden Nachkommastellen nicht mehr und ab m = 1 000000 bleiben sogar die ersten vier Nachkommastellen gleich. Es liegt daher die Vermutung nahe, dass man auf diese Weise niemals mehr als 10345,45€ erhalten wird, falls man auf volle Cent-Beträge rundet. Man kann zeigen, dass man dasselbe Ergebnis erhält, wenn man mithilfe der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828 rechnet: 100000·e 0,03 = 103045,4534. Unterteilt man das Jahr in „unendlich viele“ „unendlich kurze“ Zinsperioden, so sagt man, das Kapital wird dadurch kontinuierlich oder stetig verzinst. Bei einem (nominellen) Jahreszinssatz i erhält man bei stetiger Verzinsung für ein Kapital K 0 nach einem Jahr den Endwert K(1) = K 0 ·e i und nach n Jahren den Endwert K(n) = K 0 ·e i·n . Da K 0 ·q n = K 0 ·e ln(q n ) = K 0 ·e n·ln(q) = K 0 ·e ln(q)·n ist, entspricht die theoretische Verzinsung mit Aufzinsungsfaktor q einer stetigen Verzinsung mit dem Jahreszinssatz ln(q). B , B, D ; stetige Verzinsung Zins- und Zinseszinsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv