Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

28 133 Erstelle mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine übersichtliche Tabelle, mit der sich bei Eingabe von Datum, Ein- und Auszahlungen das Guthaben eines Sparbuches bei einem frei wählbaren Zinssatz mit und ohne Verrechnung der KEST darstellen lässt. Verwende dafür die praktische Verzinsung für 360 Tage im Jahr. Berechne das Guthaben für die Angaben aus den Aufgaben 129 –132 und vergleiche die Lösungen des Tabellenkalkulationsprogramms mit den händisch ermittelten Lösungen. 134 Luis hat ein Sparbuch mit einem Betrag von 10000€ bei einem Zinssatz von 2,25% p.a. geerbt. Am Ende des Jahres entnimmt er der Abrechnung im Sparbuch, dass seinem Guthaben nach Abzug der KEST 168,75€ gutgeschrieben wurden. Er rechnet wie folgt nach: 2,25% – 25% KEST = 2% daher 10000·2% = 200€ Luis beschwert sich sofort bei der Bank. Hat er recht? Begründe. Unterjährige Verzinsung Tobias möchte sich ein teures Mountainbike kaufen, hat aber nicht genügend Geld. In der Zeitung findet er eine Annonce: „Günstige Privatkredite! Nur 2% p.m. Zinsen!“ Ist das wirklich ein günstiges Angebot, rasch zum Mountainbike zu kommen? Vorsicht! Die Verzinsungsperiode ist hier nicht ein Jahr, sondern ein Monat! Die Abkürzung p.m. bedeutet pro Monat . Wenn sich Tobias K 0 € für ein Jahr ausleiht, dann muss er nach einem Jahr K 0 ·1,02 12 ≈ 1,27·K 0 € zurückzahlen. Das entspricht einem Zinssatz von 27% p.a.! Diesen Jahreszinssatz nennt man den Effektivzinssatz . Um ein Zinsgeschäft richtig einschätzen zu können, ist die Berechnung des Effektivzinssatzes von großer Bedeutung. Wenn die Zinsen mehrmals im Jahr (halbjährlich, vierteljährlich, monatlich) berechnet und zum Kapital hinzugerechnet werden, hat man mehrere Verzinsungsperioden pro Jahr. Man verwendet weiterhin die Zinseszinsformel K n = K 0 ·q n , allerdings bezeichnet n jetzt nicht mehr die Anzahl der Jahre, sondern die Anzahl der Verzinsungs- perioden und q bezeichnet den auf die Verzinsungsperiode bezogenen Aufzinsungsfaktor. Wenn die Zinsperiode der m-te Teil eines Jahres ist, sprechen wir von unterjähriger Verzinsung und schreiben i m für den entsprechenden Zinssatz. Das so verzinste Anfangskapital K 0 hat nach einem Jahr den Endwert K 0 ·(1 + i m ) m . Der effektive Jahreszinssatz oder kurz Effektivzinssatz i eff ist der jährliche Zinssatz, der zu demselben Endwert führen würde, also: 1 + i eff = (1 + i m ) m Achtung Im Kreditwesen beinhaltet der Effektivzinssatz auch Spesen, Bereitstellungsprovisionen, Konto- führungsentgelte, Bearbeitungsgebühren sowie die Kosten von Versicherungsverträgen. Zwei Zinssätze i m und i t (dabei sind m und t positive ganze Zahlen) sind äquivalent , wenn sie dem gleichen Effektivzinssatz entsprechen, also wenn (1 + i m ) m = (1 + i t ) t ist. Dieser Zusammmenhang ermöglicht es uns, die Zinssätze ineinander umzurechnen: Möchte man den zu i m äquivalenten Zinssatz i t berechnen, so gilt: i t = t 9 _____ (1 + i m ) m – 1 Für die entsprechenden Aufzinsungsfaktoren gilt: q t = t 9 ___ q m m Manchmal wird bei unterjähriger Verzinsung nicht der tatsächlich verwendete unterjährige Zins- satz angegeben, sondern der sogenannte Nominalzinssatz . Erfolgt die Verzinsung beipielsweise quartalsweise, so ist der Nominalzinssatz durch 4 zu teilen. Das macht einerseits die Berechnung einfacher, täuscht andererseits allerdings die Kundinnen und Kunden, da dadurch der effektive Jahreszinssatz größer ist als der Nominalzinssatz. B, C , D ; unterjährige Verzinsung Effektivzinssatz äquivalente Zinssätze Zins- und Zinseszinsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum ) ) des Verlags öbv