Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

4 Rentenrechnung und Schuldtilgung 4.1 Zahlungsströme 395. a. Montag, Sonntag b. Freitag c. 113,80€ 396. a. b. 397. a. 8582,48€ [q = 1,0275 w E = 2500q 5 + 1300q 4 – 1600q 2 + + 5800q = 8582,48] b. 7493,83€ 4 B = 2500 + 1300q ‒1 – 1600q ‒3 + 5800q ‒4 = = 7493,83€ bzw. kurz: B = 8582,48 __ q 5 5 4.2 Grundlagen der Rentenrechnung 499. a. Den aktuellen Wochenumsatz erhalten wir aus dem Umsatz der Vorwoche durch Multiplikation mit 1,05. Es ist daher die Summe 800 + 800·1,05 + 800·1,05 2 + 800·1,05 3 + … + 800·1,05 51 = = 800·(1 + 1,05 + 1,05 2 + 1,05 3 + … + 1,05 51 ). Der Ausdruck in der Klammer ist „das 52. Glied der durch 1,05 gegebenen geometri- schen Reihe“ Dieses können wir mithilfe der Summenformel s 52 = 1,05 52 – 1 __ 1,05 – 1 berechnen. b. 186284,93€ [800· 1,05 52 – 1 __ 1,05 – 1 = 186284,93] 500. a. 2430,11€ [0,75·0,85% = 0,6375% w q = 12 9 _____ 1,006375; n = 4·12 = 48; E = 50· q 48 – 1 _ q – 1 = 2430,11] b. Er hat 4·12 = 48-mal 50€ eingezahlt, also insgesamt 2400€. Da der Endwert 2430,11€ beträgt, hat sich das Geld auf dem Sparbuch um 30,11€ vermehrt. c. Der Barwert ist jener Betrag, der nach 4 Jahren auf dem Spar- buch zum selben Endwert führt wie die monatlichen Raten- zahlungen. B = 2369,13€ [B = E _ q n = 2430,11 _ q 48 = 2369,13] 501. Ein höherer Zinssatz führt dazu, dass beim Abzinsen die einzelnen Raten jeweils durch eine größere Zahl dividiert werden. Dadurch werden die Barwerte der einzelnen Raten kleiner und daher auch der Barwert der gesamten Rente. 502. B 503. 64,18€ [Der Endwert muss 4000€ betragen. Es ist q = 12 9 ___ 1,015 und n = 5·12 = 60. R·q· q 60 – 1 _ q – 1 = 4000 w R = 4000: 2 q· q 60 – 1 _ q – 1 3 = 64,18] 504. a. 1024,67€ [q = 4 9 ____ 1,035 2 ; n = 8·4 = 32 w R = 25000·q 32 : 2 q 32 – 1 _ q – 1 3 = 1024,67] b. Es ist R vor = R nach _ q = R nach · 1 _ q ≈ R nach ·0,983. Daher ist die vorschüssi- ge Rate um 100% – 98,3% = 1,7% kleiner. 505. a. 38 Vollraten [q = 12 9 ____ 1,0575, wir müssen die folgende Gleichung lösen: 0 = 7000·q n – 200· q n – 1 _ q – 1 . Mit einer geeigneten Technologie erhalten wir die Lösung n = 38,305. Es sind daher 38 Vollraten.] b. I. 60,83€, II. 61,12€ [Restschuld am Ende des 38. Monats: K 38 = 7000·q 38 – 200· q 38 – 1 _ q – 1 = 60,83€. Da die Raten nachschüssig bezahlt werden, entspricht dieser Betrag der Teilrate gemeinsam mit der letzten Vollrate. Ein Monat später sind 60,83·q = 61,12€ zu zahlen.] 506. a. 7 Vollraten [q = 4 9 ____ 1,0215, die Gleichung 0 = 18000·q n – – 2500·q· q n – 1 _ q – 1 hat die Lösung n = 7,322. Es sind daher 7 Vollraten.] b. I. 801,17€, II. 805,44€ [Restguthaben am Ende des 7. Quartals: K 7 = 18000·q 7 – 2500·q· q 7 – 1 _ q – 1 = 805,44€. Da die Raten vorschüs- sig bezahlt werden, entspricht dieser Betrag der Teilrate ein Monat nach der letzten Vollrate. Am Beginn des Monats wäre die Teilrate gemeinsam mit der letzten Vollrate 805,44 _ q = 801,17€.] 4.3 Vergleich von Zahlungen 544. a. b. das der Firma Schöngelebt [Wohngesund: B = 500000 + 2000000 __ 1,05 2 = 2314058,96€. Schöngelebt: B = 900000 + 1500000 __ 1,05 = 2328571,43€] 545. 3090,57€ [Der Barwert der Monatsrente mit q = 12 9 ___ 1,015 und n = 6·12 = 72 ist B = 350· q 72 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 72 = 24092,25€. Das ist auch der Barwert der neuen Rente mit q = 9 ___ 1,015 und n = 4·2 = 8. Nach Umformen erhalten wir R = 24092,25·q 8 : 2 q· q 8 – 1 _ q – 1 3 = 3090,57.] 546. a. b. 701,16€ [Der Barwert der Quartalsrente mit q = 4 9 ___ 1,02 ist B = 3000·q· q 20 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 28 = 55043,04€. Dieser Betrag ist gleichzeitig der Barwert der neuen Rente mit q = 12 9 ___ 1,02 und n = 7·12 = 84. Also R·q· q 84 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 84 = 55043,04€. Umformen ergibt R = 55043,04·q 84 : 2 q· q 84 – 1 _ q – 1 3 = 701,16€.] 547. 8,150% p.a. [Nach 72 Monaten ist die Restschuld 0€, daher lösen wir folgende Gleichung: 0 = 45000·q 72 – 780,82·q· q 72 – 1 _ q – 1 Wir erhalten als Lösung den Aufzinsungsfaktor pro Monat q = 1,0065504. Der Aufzinsungsfaktor pro Jahr ist daher q 12 = 1,08150. Daher ist der effektive Jahreszinssatz 8,150% p.a.] 548. 9,711% p.a. [Die Rechtsgeschäftsgebühr beträgt 21583·0,008 = 172,66€. Der Barwert aller Zahlungen entspricht dem Kaufpreis: 21583 = 6000 + 172,66 + 255,21· q 48 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 48 + 7554,05 __ q 48 Wir erhalten q = 1,0077534 p.m. Der Jahresaufzinsungsfaktor ist q 12 = 1,09711. Also ist i eff = 9,711% p.a.] 4.4 Rentenkonvertierung 576. a. B b. C c. C 577. a. 507,28€ [Der Endwert der 5 versäumten Zahlungen mit q = 12 9 ____ 1,0175 ist E = 100·q· q 5 – 1 _ q – 1 = 502,17€. Bis zum Ende des 2. Jahres vergehen noch 7 Monate. Daher ist die einmalige Son- derzahlung S = 502,17·q 7 = 507,28€.] b. 112,04€ [Der Endwert der 5 versäumten Zahlungen E = 502,17€ ist der Barwert der zusätzlich zu bezahlenden Raten R z für die verbleibenden n = 7 + 36 = 43 Monate. Daraus ergibt sich R z = 502,17q 43 : 2 q· q 43 – 1 _ q – 1 3 = 12,04€. Zusammen mit der ursprünglichen Rate sind daher nunmehr monatlich 100€ + 12,04€ = 112,04€ zu zahlen.] Jahre 4 5 3 2 1 0 - €15.000 €3.300 €3.300 €3.300 €3.300 €3.300 Jahre 4 5 3 2 1 0 €15.000 - €3.300 - €3.300 - €3.300 - €3.300 - €3.300 Jahre 1 2 0 €500.000 €2.000.000 Firma Wohngesund: Jahre 1 2 0 €900.000 €1.500.000 Firma Schöngelebt: Jahre 4 5 6 7 3 2 1 0 €3.000 €3.000 (20 vorsch. Quartalsraten) R R (84 vorschüssige Monatsraten) Rente 1 Rente 2 183 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags 2 · _ öbv