Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

360. 361. a. E(t) = 3,5·1,02 t [Eine Zunahme um 2% entspricht einem Wachstumsfaktor von 1,02. E(0) = 3,5 Millionen] b. 4,27 Millionen Einwohner/innen [E(10) = 3,5·1,02 10 ≈ 4,27] c. 18 Jahre [Löse die Gleichung 3,5·1,02 t = 5 w t = 18,0115 ≈ 18.] d. Weil auf lange Sicht die Funktionswerte von E über alle Schran- ken wachsen würden. In keinem Land ist aber unbeschränkt viel Platz. 362. a. I(x)… Schallintensität nach einer Dicke von xcm in Prozent; I(0) = 100 I(x) = 100·0,85 x [Eine Abnahme von 15% entspricht dem Wachstumsfaktor 0,85, also ist I(x) = a·0,85 x = 100·0,85 x .] b. 61,4% [I(3) = 100·0,85 3 = 61,4125 ≈ 61,4] c. 28,3cm [I(x) = 1 w 100·0,85 x = 1. Diese Gleichung hat die Lösung x = 28,3362 ≈ 28,3.] 363. a. Der Funktionswert nimmt um 15% zu, denn es ist f(x + 1) = a·1,15 x + 1 = a·1,15 x ·1,15 1 = f(x)·1,15. Die Multiplikation mit 1,15 führt zu einer Zunahme von 15%. b. Der Funktionswert nimmt um 30% ab, denn es ist f(x + 1) = a·0,7 x + 1 = a·0,7 x ·0,7 1 = f(x)·0,7. Eine Multiplikation mit 0,7 führt zu einer Abnahme von 30%. 364. a. f(x) = 5·e 1,0986x [Es muss a = 5 und e k·x = 3 x sein. Aus e k·x = 3 x folgt e k = 3 und somit k = ln(3) ≈ 1,0986.] b. f(x) = 125·0,4966 x [Es muss a = 125 und b x = e – 0,7x sein. Aus b x = e – 0,7x folgt b = e – 0,7 ≈ 0,4966.] 365. a. C b. B 366. a. D b. B Funktionale Zusammenhänge – Wachstumsmodelle 367. a. B, III b. D, IV c. 3C, II d. A, I 368. a. B b. D 369. a. N(t) = 5000000 ___ 1 + 39999·0,4464147 t [K = 5000000; N(0) = 125 w 5000000 __ 1 + c·a 0 = 125 w c = 39999; N(1) = 280 w 5000000 __ 1 + 39999·a 1 = 280 w a = 5000000 – 280 __ 39999·280 ≈ 0,4464147] b. 342000 Exemplare [N(10) = 5000000 ___ 1 + 40000·0,45 10 = 341991,38] c. 15 Wochen 370. a. ca. 392 Milliarden Euro [2020 ist 5 Jahre nach 2015. Die Staatsverschuldung in Milliarden ist dann voraussichtlich 293·1,06 5 = 392,1 ≈ 392.] b. Unter diesen Voraussetzungen werden die Staatsschulden vor- aussichtlich im Jahr 2036 1 Billion Euro betragen. Also wirst du es wahrscheinlich miterleben. [1 Billion = 1000 Milliarden. Die Gleichung 293·1,06 x = 1000 hat die Lösung x = 21,0675. Die Staatsverschuldung wird demnach voraussichtlich im Jahr 2015 + 21 = 2036 1 Billion Euro betragen.] 371. a. Die Anzahl der Aufkleber im Album wächst zunächst linear und ist nach oben hin begrenzt. Daher wählen wir als Modell das gebremste Wachstum mit N(x) = K(1 – c·a x ). Die Kapazitäts- grenze K ist 250. Aus N(0) = 0 folgt c = 1. Aus N(1) = 5 folgt 250(1 – a) = 5 w a = 49 _ 50 . b. 176 Aufkleber 4 N(60) = 250· 2 1 – 2 49 _ 50 3 60 3 = 175,612 ≈ 176 5 c. 159 Päckchen, um mindestens 1590€ [Die Lösung der Gleichung 250· 2 1 – 2 49 _ 50 3 x 3 = 159,329 ist x ≈ 159. Es wurde 159-mal mindestens 10€ bezahlt, also mindestens 1590€.] 372. a. B b. A 373. a. Das Wachstum ist exponentiell, wenn sich erstens alle Personen an Janas Bitte halten und die Präsentation tatsächlich an 5 Freundinnen weiterleiten, und zweitens, wenn es sich dabei jedes Mal um 5 Personen handelt, die diese Präsentation vor diesem Zeitpunkt noch nicht erhalten haben. Unter diesen Voraussetzungen verfünffacht sich die Anzahl der Personen jeden Tag. b. Eine tägliche Verfünffachung würde schon bald dazu führen, dass die Anzahl dieser Personen größer als die Anzahl der Menschen auf der Erde wäre. Außerdem wird es schon bald dazu kommen, dass manche der Personen die Präsentation mehrfach zugesandt bekommen, wodurch sich die Anzahl nicht mehr verfünffacht. Das logistische Wachstum beschreibt diese Situation besser. c. In diesem Fall wächst die Anzahl der Personen, die Janas Präsentation kennen, täglich um 5, also linear, allerdings führt das auf lange Sicht zu denselben Problemen wie in Aufgabe b. In diesem Fall ist das beschränkte Wachstum besser geeignet, die Situation zu beschreiben. Funktionale Zusammenhänge – Zins- und Zinseszinsrechnung 374. a. A b. B 375. a. E = A· 2 1 + b _ 100 3 c b. E = A· 2 1 + b _ 400 3 4c 376. 12% p.a. [Es muss 785· 5·30 _ 360 i = 39,25 sein w i = 0,12.] 377. Zinsen: 12,63€; Guthaben nach KEST: 1829,47€ [Die Zinsen sind 1420·50 + 1920·66 + 2520·78 + 1020·76 + 1820·74 _______ 360 ·0,0075 = 12,63€. Nach KEST bleiben 12,63€·0,75 = 9,47€. Also ist das Guthaben nach KEST 1820€ + 9,47€ = 1829,47€.] 378. a. 9620,95€ [Endwert nach 5 Jahren: 9000·1,0125 5 = 9576,73€; Noch 4·30 + 13 = 133 Tage: 9576,73 2 1 + 0,0125· 133 _ 360 3 = 9260,95€] b. 9620,79€ [5·360 + 4·30 + 13 = 1933 Tage = 1933 _ 360 Jahre; 9000·1,0125 1933 _ 360 = 9620,79€] 379. 15 Jahre 8 Monate 29 Tage [500000·1,045 n = 1000000 w 1,045 n = 2 w n = ln(2) __ ln(1,045) = 15,747 Jahre = 15 Jahre 8 Monate 29 Tage] 380. 1,25% p.s. [3·12 + 5 = 41 Monate = 41 _ 6 Semester. 50000q 41 _ 6 = 54429,71 w q 41 _ 6 = 1,0885942 w q = 1,012499988 ≈ 1,0125] 381. a. 101000€ [100000·1,01 = 101000] b. 101002,50€ [100000·1,005 2 = 101002,50] c. 101003,75€ [100000·1,0025 4 = 101003,75] d. 101004,59€ [100000·1,000833 12 = 101004,59] e. 101005,01€ [100000·e 0,01 = 101005,01] Zeit in Stunden Koffein in mg 0 1 0,5 2 3 4 5 6 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 10 40 50 60 0 20 30 Zeit in Wochen Verkaufte Exemplare in Mio. 4 2 0 8 12 16 6 10 14 18 20 1 0 4 5 2 3 N 182 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv