Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

3.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse 330. a. D c. B e. D g. A b. B d. C f. B h. C 331. ca. 300 Jahre [100·0,5 t _ 30 = 0,1 w t = 30· ln(0,001) __ ln(0,5) = 296,87 ≈ 300] 332. a. N(t) Menschen auf der Insel in t Jahren; N(t) = 3025·1,04307 t bzw. N(t) = 3025·e 0,04217t [2450·q 5 = 3025 w q = 5 9 ___ 3025 _ 2450 ≈ 1,04307; N 0 = 3025; N(t) = 3025·1,04307 t ; λ = ln(1,04307) ≈ 0,04217 w N(t) = 3025· e 0,04217t ] b. um 3,7%; in 2,8 Jahren [Die Bevölkerungszahl wächst jährlich um 3,7%. 6321·1,037 t = 7000 w t = ln 2 7000 _ 6321 3 __ ln(1,037) = 2,808] 333. a. a ≈ 0,2490 [Nach 3 Stunden haben 60 Personen von dem Gerücht gehört, also ist p(3) = 60. 800 __ 1 + 799a 3 = 60 | ·(1 + 799a 3 ) 800 = 60 + 47940a 3 | – 60, : 47940 740 _ 47940 = a 3 | 3 9 _ a = 3 9 ___ 740 _ 47940 ≈ 0,2490] b. ca. 450 Personen [p(5) = 800 __ 1 + 799·0,25 5 ≈ 449,37] c. ca. 5 Stunden und 36 Minuten [ 3 _ 4 von 800 sind 600. Es ist daher folgende Gleichung zu lösen: 800 __ 1 + 799·0,25 t = 600 t = ln 2 200 _ 479400 3 __ ln(0,25) ≈ 5,6] 334. a. h(t) Höhe der Kerze in cm nach t Minuten; h mit h(t) = 35 – 0,05·t [h(t) = h 0 + k·t mit h 0 = 35; In 700min ist die Kerze abgebrannt w pro Minute wird sie um 35 _ 700 = 0,05cm kürzer w k = ‒0,05; h(t) = 35 – 0,05t] b. 600min (= 10 Stunden) 4 35 – 0,05t = 5 w t = 30 _ 0,05 = 600 5 Was habe ich in diesem Semester gelernt? – 5. Semester Algebra und Geometrie – Logarithmen und Exponentialgleichungen 348. Der dekadische Logarithmus von 1000 ist 3, weil 10 3 = 1000 ist. 349. a. A b. D 350. a. 3 log(b) + 2 log(c) [log(b 3 ·c 2 ) = log(b³) + log(c²) = 3 log(b) + 2 log(c)] b. 2 log(x) – 3 log(y) 4 log 2 x 2 _ y 3 3 = log(x²) – log(y³) = 2 log(x) – 3 log(y) 5 c. log(5) + 3 log(a) – 2 log(b) – log(c) 4 log 2 5a 3 _ b 2 ·c 3 = log(5a³) – log(b²c) = = log(5) + 3 log(a) – 2 log(b) – log(c) 5 d. 7 _ 2 log(x) + 2 log(y) 4 log 2 9 ___ x 7 y 4 3 = log 2 (x 7 y 4 ) 1 _ 2 3 = 1 _ 2 log(x 7 y 4 ) = 1 _ 2 (7log(x) + 4 log(y)) = = 7 _ 2 log(x) + 2 log(y) 5 351. Das Endergebnis ist richtig, aber wurde über ein falsches Zwischenergebnis falsch berechnet. Die korrekte Umformung ist ln 2 ab³ _ c² 3 = ln(a) + ln(b 3 ) – ln(c 2 ) = ln(a) + 3 ln(b) – 2 ln(c). 352. a. x ≈ 0,367; Probe: 7 2,367 ≈ 100,080 ≈ 100 [ 7 x + 2 = 100 | ln (x + 2) ln(7) = ln(100) x = ln(100) _ ln(7) – 2 ≈ 0,367] b. x ≈ 2,140; Probe: 100·1,5 3·2,140 – 1 ≈ 900,357 ≈ 900 [ 100·1,5 3x – 1 = 900 | : 100 1,5 3x – 1 = 9 | ln (3x – 1) ln(1,5) = ln(9) x = 2 ln(9) _ ln(1,5) + 1 3 : 3 ≈ 2,140] c. x ≈ 12,573; Probe: 40·2 ‒ 12,573 _ 5 ≈ 7 d. x ≈ 0,599; Probe: 8·e 2·0,599 + 1 ≈ 72 353. Die Gleichung wurde nicht richtig gelöst. Der Fehler passiert im letzten Schritt, in dem zwei Umformungen auf einmal durchgeführt wurden. Es wurde zuerst durch 2 dividiert, dann 1 addiert, dabei wurde aber vergessen, zunächst auch die Zahl 1 durch 2 zu dividieren. Korrekt wären die Umformungen: 2x – 1 = ln(2) _ ln(1,5) w x – 1 _ 2 = ln(2) __ 2·ln(1,5) w x = ln(2) __ 2·ln(1,5) + 1 _ 2 oder 2x – 1 = ln(2) _ ln(1,5) w 2x = ln(2) _ ln(1,5) + 1 w x = ln(2) _ ln(1,5) + 1 __ 2 354. 5 Jahre 7 Monate 28 Tage [100000·1,025 x = 100000·1,15 | : 100000 1,025 x = 1,15 | ln x = ln(1,15) __ ln(1,025) = 5,660 5,660 Jahre = 5 Jahre 7 Monate 28 Tage] 355. a. x ≈ 43,613 b. n ≈ 30,190 ggb/tns mr878u Funktionale Zusammenhänge – Wachstums- und Abnahmeprozesse 356. B , D A kann nicht Graph einer Exponentialfunktion sein, denn es gibt negative Funktionswerte. C kann nicht Graph einer Exponentialfunktion sein, denn es gibt negative Funktionswerte. 357. B , C , E [ A ist falsch, denn a > b würde bedeuten, dass f(1) > g(1) ist, was nicht der Fall ist. B ist richtig, denn mit c = 1 _ a ist c x = 2 1 _ a 3 x = a ‒x . Also ist h(x) = f(‒x) und der Funktionsgraph wird an der y-Achse gespiegelt. C ist richtig, denn g(1) = 3 1 = 3. D ist falsch, denn mit a < 1müsste der Graph von f mit f(x) = a x streng monoton fallend sein. E ist richtig, denn h(1) = c < 1.] 358. Man zeichnet die 1. Mediane ein und spiegelt den Graphen von f an dieser Geraden. 359. x y 0 - 4 - 2 2 4 - 4 - 2 2 4 f f -1 x y 0 - 4 - 2 2 4 2 4 6 8 181 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum 1 des Verlags öbv