Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

180 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ 1 Logarithmen 1.1 Dekadischer und natürlicher Logarithmus 17. a. 1 _ 3 4 Es soll 2 x = 3 9 _ 2 sein. Wegen 3 9 _ 2 = 2 1 _ 3 ist log 2 ( 3 9 _ 2) = 1 _ 3 . 5 b. ‒4 [Es soll 10 x = 0,0001 sein. Wegen 0,0001 = 10 ‒4 ist lg(0,0001) = ‒4.] c. ‒5 4 Es soll e x = 1 _ e 5 sein. Wegen 1 _ e 5 = e ‒5 ist ln 2 1 _ e 5 3 = ‒5. 5 18. B 1.2 Rechenregeln für Logarithmen 27. a. 3 log(a) + 5 log(b) – 2 log(a + b) 4 log 2 a 3 b 5 _ (a + b) 2 3 = log(a 3 b 5 ) – log((a + b) 2 ) = = log(a 3 ) + log(b 5 ) – 2 log(a + b) = 3 log(a) + 5 log(b) – 2 log(a + b) 5 b. log(3) + 1 _ 2 log(x) + 5 _ 2 log(y) c. 1 _ 3 log(x) + 1 _ 2 log(y) – 1 _ 4 log(x + y) 28. a. log 2 9 _ x _ 3 9 _ y 3 4 1 _ 2 log(x) – 1 _ 3 log(y) = log 2 x 1 _ 2 3 – log 2 y 1 _ 3 3 = log 2 9 _ x _ 3 9 _ y 3 5 b. log 2 (a + b) 2 ·c __ 9 a 3 c. log 2 x 3 y 4 _ 9 ___ x + y 3 1.3 Exponentialgleichungen 46. a. 10 c. 9,63 [ 2 x = 1024 | ln [ 500·1,05 x = 800 | : 500 x·ln(2) = ln(1024) | : ln(2) 1,05 x = 1,6 | ln x = ln(1024) __ ln(2) = 10] x·ln(1,05) = ln(1,6) x = ln(1,6) _ ln(1,05) ≈ 9,633] b. 1,95 [ 17 x = 253 | ln x·ln(17) = ln(253) x = ln(253) _ ln(17) ≈ 1,953] 47. 46,56 Jahre [x … Zeit in Jahren. Löse die Gleichung 10000·1,015 x = 20000.] 48. a. 2,63 b. 5,90 c. 0,58 ggb/tns q7a2ng 2 Zins- und Zinseszinsrechnung 2.1 Zinseszinsrechnung 115. 4250€ 4 K 0 = 4737,14 _ 1,0275 4 = 4250,00 5 116. 5 Jahre, 6 Monate und 20 Tage [2800·1,0125 n = 3000 | : 2800 1,0125 n = 3000 _ 2800 | logarithmieren n·ln(1,0125) = ln 2 3000 _ 2800 3 | : ln(1,0125) n = ln 2 3000 _ 2800 3 __ ln 2 1,0125 3 = 5,554 Jahre] 117. 1,85% p.a. 4 15000·q 4 = 16141,18 w q = 4 9 ____ 16141,18 __ 15000 = 1,0185 5 118. a. C b. B 119. a. 18183,75€ 4 18000· 2 1 + 0,0175· 7 _ 12 3 = 18183,75 5 b. 18183,08€ 4 18000·1,0175 7 _ 12 = 18183,08 5 120. a. 1918,40€ [2 Monate und 5 Tage = 2·30 + 5 = 65 Tage = = 65 _ 360 Jahre; 500000·0,02125· 65 _ 360 = 1918,40] b. 1901,91€ [500000·1,02125 65 _ 360 = 501901,91; 501901,91 – 500000 = 1901,91] 2.2 Anwendungen im Bankwesen 173. a. 4598,19€ [4000·1,0235 6 = 4598,19] b. 4442,08€ [2,35%·0,75 = 1,7625%; 4000·1,017625 6 = 4442,08] c. 156,11€ [4598,19 – 4442,08 = 156,11] 174. 121116,37€ [1,95%·0,75 = 1,4625%; 7 Monate und 19 Tage = = 229 _ 360 Jahre; 120000· 2 1 + 0,014625· 229 _ 360 3 = 121116,37] 175. Zinsen: 8,89€; Guthaben 1758,89€ Datum Einzahlung Guthaben Tage bis zur nächsten Einzahlung/Ende 15.6. 1500€ 1500€ 15 + 3·30 + 2 = 107 2.10. 1000€ 2500€ 28 + 8 = 36 8.11. ‒750€ 1750€ 22 + 30 = 52 [Zinsen: 1500· 107 _ 360 ·0,0125 + 2500· 36 _ 360 ·0,0125 + 1750· 52 _ 360 ·0,0125 = 11,85€ KEST: 11,85€·0,25 = 2,96€; 11,85 – 2,96 = 8,89€; Guthaben: 1750 + 8,89 = 1758,89 €] 176. a. 4,594% p.a. 4 4,5% _ 12 = 0,375% p.m.; 1,00375 12 = 1,04594 5 b. 4,577% p.a. 4 4,5% _ 4 = 1,125% p.q.; 1,01125 4 = 1,04577 5 c. 4,551% p.a. 4 4,5% _ 2 = 2,25% p.s.; 1,0225 2 = 1,04551 5 177. 31 Jahre, 10 Monate, 26 Tage [2000 ·1,00175 n = 2500 n = ln 2 2500 _ 2000 3 __ ln(1,00175) = 127,622 Quartale 127,622 : 4 = 31,906 Jahre = 31 Jahre, 10 Monate, 26 Tage] 178. 94205,50€ [5·360 + 7·30 + 23 = 2033 Tage = 2033 _ 360 Jahre = = 2033 _ 90 Quartale; 1,825% _ 4 = 0,45625% p.q.; 85000·1,0045625 2033 _ 90 = = 94205,50] 179. a. 10304,54€ [10000·e 0,015·2 = 10304,54] b. 1,511% [q = e 0,015 = 1,01511 w i = 1,511%] 3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 3.1 Exponentialfunktionen 248. B , C , D , E 249. a. B b. C c. A d. D 250. a = 0,4; c = 36; f(x) = 36·0,4 x [Aus I) c·a ‒2 = 225 und II) c·a 3 = 2,304 folgt c·a 3 _ c·a ‒2 = 2,304 _ 225 w a 5 = 0,01024 w a = 5 9 _____ 0,01024 = 0,4. Einsetzen in I) liefert c·0,4 ‒2 = 225 w c = 225 _ 0,4 ‒2 = 36.] 251. a. f(x) = 3 x = e 1,0986x [ln(3) = 1,0986] b. f(x) = 1,08 x = e 0,077x [ln(1,08) = 0,077] c. f(x) = 0,7 x = e ‒0,3567x [ln(0,7) = ‒0,3567] d. f(x) = 0,14 x = e ‒1,9661x [ln(0,14) = ‒1,9661] 252. a. B [e ‒0,5 = 0,6065] b. D [e 4 = 54,5982] 3.2 Logarithmusfunktionen 265. a. D b. A 266. x 3 x ‒3 0,037 ‒2 0,111 ‒1 0,333 0 1,000 1 3,000 2 9,000 x y 0 - 4 4 8 - 4 4 8 f f -1 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv