Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

143 Diesen Sachverhalt stellen wir aus Sicht des Gläubigers als Zahlungsstrom dar: 672 Eine Anleihe zum Nennwert 5000€ wird zum Kurs 99% emittiert. Die Laufzeit beträgt 10 Jahre, die Nominalverzinsung beträgt 3,5%, die Tilgung erfolgt am Ende der Laufzeit zum Nennwert. Stelle den Zahlungsstrom dieser Anleihe mithilfe einer Zeitlinie dar. 673 Der Ausgabekurs einer Anleihe mit Nennwert 1 000€ ist 98,7%. Die Laufzeit dieser Anleihe beträgt 6 Jahre, die Nominalverzinsung beträgt 2,75% bei jährlichen Kuponzahlungen. Die Tilgung erfolgt am Ende der Laufzeit zum Nennwert. Stelle alle Zahlungen dieser Anleihe als Zahlungsstrom graphisch dar. 674 Berechne, welchen Betrag der Käufer für die Anleihe bezahlt, und gib an, ob der Ausgabekurs „unter pari“, „über pari“ oder „pari“ ist. a. Ausgabekurs 86%; Nennwert 1 000€ c. Ausgabekurs 101%; Nennwert 000€ b. Ausgabekurs 97,5%; Nennwert 2500€ d. Ausgabekurs 100%; Nennwert 500€ Die Rendite einer Anleihe Die Zahlungen einer Anleihe werden auf folgender Zeitlinie dargestellt. Ist diese Anleihe – als Investition betrachtet – eine sinnvolle Geldanlage? Der Kaufpreis der Anleihe ist der investierte Betrag und die Kuponzahlungen sowie die Tilgung am Ende der Lauf- zeit bilden die Rückflüsse. Es ist üblich, zur Beurteilung der Anleihe ihren internen Zinssatz zu berechnen. Diesen bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Rendite der Anleihe . Die Rendite r = q – 1 erhält man aus einer Lösung q der Gleichung ‒ 990 + 35·q ‒1 + 35·q ‒2 + 35·q + 35·q ‒4 + 35·q ‒5 + 1 000·q ‒5 = 0. Wegen 35·q + 35·q ‒2 + 35·q ‒3 + 35·q ‒4 + 35·q ‒5 = 35·q ‒5 ·(q 4 + q 3 + q 2 + q + 1) = 35· q 5 – 1 _ q – 1 ·q ‒5 kann diese Gleichung auch in der Form ‒ 990 + 35· 000·q ‒5 = 0 angeschrieben werden. Eine Lösung erhalten wir mit Technologieeinsatz als q = 1,03723. Die Anleihe hat daher eine Rendite von 3,723%. Sie ist dann eine sinnvolle Geldanlage, wenn die- se Rendite über dem aktuellen Marktzinssatz liegt. Allerdings unterliegen die Kuponzahlungen und der Kursgewinn einer Anleihe einer erhöhten Kapitalertragssteuer (KEST) in der Höhe von 27,5%. In unserem Beispiel beträgt der Kursgewinn (die Differenz zwischen Tilgungs- und Ausgabepreis der Anleihe) 1 000€ – 990€ = 10€, die KEST für diesen Betrag ist 0,275·10€ = 2,75€. Am Ende der Laufzeit erhält der Kunde daher nur noch 000€ – 2,75€ = 997,25€ ausgezahlt. Von den Kuponzahlungen bleiben nach Abzug der KEST nur noch 72,5%, also 0,725·35 ≈ 25,38€ übrig. Die Rendite nach KEST erhält man durch Lösen der Gleichung ‒ 990 + 25,38· q 5 – 1 _ q – 1 ·q ‒5 + (1 000 – 2,75)·q ‒5 = 0. Aus der Lösung q = 1,02702 entnehmen wir die Rendite nach KEST von 2,702%. Tipp Beachte, dass es, wenn die Tilgung zum Nennwert erfolgt, für die Berechnung der Rendite egal ist, wie hoch der Nennwert dieser Anleihe ist. Das gleiche Ergebnis hätten wir auch erhalten, wenn wir für den Nennwert 1€ gewählt hätten. Dann sind der Ausgabepreis und der Ausgabe- kurs gleich und die Kuponzahlung ist der Nominalzinssatz. Jahre 4 5 6 3 2 1 0 - €980 €40 €40 €40 €40 €40 €40 + €1.000 A, B : A, B : B , Jahre 4 2 1 0 - €990 €35 €35 €35 €35 €35 + €1.000 5.2 Kurs- und Rentabilitätsrechnung Nur zu ‒1 Prüfzwecken 3 – Eigentum q 5 – 1 _ q – 1 ·q ‒5 + 1 1 des ‒3 Verlags 5 öbv 5