Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

83 Zusammenfassung Ein Rechteck von Zahlen M = 2 M 11 M 21  M m1 M 12 M 22  M m2 … …  … M 1n M 2n  M mn 3 nennen wir eine m×n-Matrix oder Matrix mit m Zeilen und n Spalten. M ij nennen wir den i-j-ten Eintrag oder i-j-ten Koeffizienten von M. Die Summe zweier n×m-Matrizen berechnen wir, indem wir die entsprechenden Koeffizienten addieren. Ist c eine Zahl, dann berechnen wir das c-Fache einer m×n-Matrix , indem wir alle Koef- fizienten von A mit c multiplizieren. Beispiele: 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 + 2 B 11 B 12 B 21 B 22 3 = 2 A 11 + B 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22 3 c· 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 = 2 c·A 11 c·A 12 c·A 21 c·A 22 3 Das Produkt einer m×n-Matrix A und einer n×p-Matrix B ist die m×p-Matrix A·B, deren i-j-ter Koeffizient A ij das Produkt A i1 B 1j + A i2 B 2j + … + A in B nj der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B ist (i = 1, 2, …, m und j = 1, 2, …, p). Bei der Matrizenmultiplikation darf man die Reihenfolge der Faktoren nicht vertauschen. ,P $OOJHPHLQHQ LVW $™% ň %™$ Die Matrix A = 2 a b c d 3 LVW JHQDX GDQQ LQYHUWLHUEDU ZHQQ DG x EF ň LVW 'DQQ LVW A ļ = 1 _ ad – bc · 2 d ļE ļ F a 3 die zu A inverse Matrix . Es ist A·A x = A x ·A = E. Ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten I) 3x 1 + 4x 2 = 7 II) 2x 1 x [ 2 = 1 können wir auch in der Form 2 3 2 4 ļ 3 · ( x 1 x 2 ) = 2 7 1 3 bzw. kürzer als A·x = b anschreiben. Wenn A invertierbar ist, dann ist A ļ ·b die einzige Lösung des Gleichungssystems. Aus m Rohstoffen R 1 , R 2 , …, R m werden n verschiedene Produkte P 1 , P 2 , …, P n hergestellt. Zur Her- stellung einer Einheit des Produktes P j (1 ª j ª n) werden B ij Einheiten des Rohstoffs R i (1 ª i ª m) benötigt. Dann heißt die m×n-Matrix B (mit den Einträgen B ij ) die Bedarfsmatrix dieser Produktion. Der Nachfragevektor N = 2 N 1 N 2 N n 3 gibt an, wie viele Einheiten der Produkte P 1 ,P 2 , … ,P n produziert werden sollen. Die Spalte X = B·N nennen wir den Produktionsvektor . Der i-te Eintrag X i von X ist die Anzahl der Einheiten, die vom Rohstoff R i verwendet werden müssen, um die Nachfrage N zu erfüllen. Matrix Rechnen mit Matrizen Gleichungs- systeme in Matrizenform Bedarfsmatrix Nachfrage- vektor … Produktions- vektor Zusammenfassung: Matrizenrechnung Nur zu Prüfzwecken 3 2 – Eigentum P P des A A A A A A A A A A A A · · Verlags öbv