Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

8 Quadratwurzeln Wenn wir die Seitenlänge s Meter eines Quadrates kennen, erhalten wir den Flächeninhalt des Quadrates in Quadratmeter, indem wir s 2 berechnen. Wie bekommen wir aber die Zahl s, wenn wir umgekehrt den Flächeninhalt a Quadrat- meter kennen? Wir müssen dazu eine Zahl finden, deren Quadrat gleich a ist. Wenn a eine positive reelle Zahl ist, nennen wir eine positive reelle Zahl Wurzel oder Quadrat- wurzel aus a, wenn ihr Quadrat gleich a ist. Es gibt nur eine positive Zahl, die die Wurzel aus a ist, denn wären x und y Wurzeln aus a, dann wäre x 2 = a = y 2 , also 0 = x 2 – y 2 = (x – y)(x + y). Wenn ein Produkt von reellen Zahlen gleich 0 ist, muss mindestens einer der Faktoren gleich 0 sein. Da x und y positiv sind, ist x + y nicht gleich 0, also muss x – y = 0 sein, das heißt x = y. Wir bezeichnen die (eindeutig bestimmte) Wurzel aus a mit 9 _ a . Dann ist 2 9 _ a 3 2 = a . Für zwei positive reelle Zahlen a und b gilt: 9 _ a· 9 _ b = 9 __ a·b Die Wurzel eines Produktes ist das Produkt der Wurzeln, denn ( 9 _ a· 9 _ b)·( 9 _ a· 9 _ b) = ( 9 _ a· 9 _ a)·( 9 _ b· 9 _ b) = a·b. 9 _ a _ 9 _ b = 9 _ a _ b Die Wurzel eines Quotienten ist der Quotient der Wur- zeln, denn 2 9 _ a _ 9 _ b 32 9 _ a _ 9 _ b 3 = 9 _ a· 9 _ a _ 9 _ b· 9 _ b = a _ b . Insbesondere gilt 1 _ 9 _ b = 9 _ 1 _ b , in anderer Schreibweise: 2 9 _ b 3 ļ = 9 __ b ļ . Achtung Wenn a und b größer als 0 sind, ist 9 ___ a + b nicht dasselbe wie 9 _ a + 9 _ b. Die Wurzel einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln! Zum Beispiel ist 9 ____ 9 + 16 = 9 __ 25 = 5, aber 9 _ 9 + 9 __ 16 = 3 + 4 = 7. Für eine gerade natürliche Zahl n = 2k gilt: 9 __ a n = 9 __ a 2k = 9 ___ 2 a k 3 2 = a k Für eine ungerade natürliche Zahl n = 2k + 1 gilt: 9 __ a n = 9 ___ a 2k + 1 = 9 ___ 2 a k 3 2 a = 9 ___ 2 a k 3 2 · 9 _ a = a k · 9 _ a Für positive Zahlen b und c ist 9 ___ b 2 ·c = 9 __ b 2 · 9 _ c = b· 9 _ c. Den Übergang von 9 ___ b 2 ·c zu b· 9 _ c nennt man teilweises Wurzelziehen . Beispiele: 9 ___ 3 2 ·7 = 3· 9 _ 7 9 __ 108 = 9 ___ 2 2 ·27 = 2· 9 __ 27 9 __ 27 = 9 ___ 3 2 ·3 = 9 __ 3 2 · 9 _ 3 = 3· 9 _ 3 9 __ 108 = 9 ___ 6 2 ·3 = 6· 9 _ 3 GeoGebra sqrt( <Zahl> ) Excel = WURZEL( Zahl ) ¥ TI Nspire tÒ oder /q s s Wurzel Rechenregeln für Wurzeln teilweise wurzelziehen ggb/xls/tns 7i26h8 Wurzel eingeben Potenzen Nur a a zu Prüfzwec en b b – Eigentum a a a a a a a a b b · · b b 3 3 des Verlags · · öbv