Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

78 319 Aus vier Rohstoffen R 1 , R 2 , R 3 , R 4 können gemäß der abgebildeten Matrix vier Produkte hergestellt werden. Die erste Spalte zeigt zum Beispiel, welche Rohstoffe für das Produkt P 1 benötigt wer- den. B = 2 5 2 3 1 4 2 1 3 1 4 2 0 1 0 2 5 3 a. Die Spalte L gibt an, wie viel Einheiten der Rohstoffe R 1 , R 2 , R 3 , R 4 auf Lager liegen. L = 2 318 172 188 195 3 Wie viel Stück muss man von den Produkten P 1 , P 2 , P 3 , P 4 produzieren, sodass der Vorrat kom- plett aufgebraucht wird? Löse dazu die Gleichung B·x = L. b. Argumentiere, welche besondere Eigenschaft die Matrix B haben muss, damit Aufgabe a. eindeutig lösbar ist. Produktionsprozesse mit verflochtenen Teilbereichen Eine Stadt betreibt ein Elektrizitätswerk und ein Gaswerk und sichert damit die Gas- und Stromversorgung der Stadt. Für den Betrieb benötigen beide Werke sowohl Strom als auch Gas. Für die Produktion einer Mengeneinheit (ME) Strom braucht das Elektrizitätswerk 0,1ME Strom und 0,2ME Gas. Für die Produktion einer Mengeneinheit Gas braucht das Gaswerk 0,15ME Strom und 0,3ME Gas. Wir stellen diese wechselseitige Abhängigkeit durch eine Tabelle dar. an E-Werk an Gaswerk von E-Werk 0,1ME 0,2ME von Gaswerk 0,15ME 0,3ME Für die Versorgung der Stadt werden täglich 10ME Strom und 12ME Gas benötigt. Wir berechnen nun, wie viel Strom und wie viel Gas dazu insgesamt bereitgestellt werden muss. Für die Produktion von X 1 ME Strom und X 2 ME Gas verbrauchen die zwei Werke gemeinsam 0,1 X 1 + 0,2 X 2 ME Strom und 0,15 X 1 + 0,3 X 2 ME Gas. Auf den Markt kommen also nur Y 1 = X 1 x ; 1 + 0,2 X 2 ) ME Strom und Y 2 = X 2 x ; 1 + 0,3 X 2 )ME Gas. In Matrizenschreibweise: 2 X 1 X 2 3 x 2 0,1 0,15 0,2 0,3 3 · 2 X 1 X 2 3 = 2 Y 1 Y 2 3 RGHU NXU] ; x 9™; \ GDEHL LVW 9 GLH Verflechtungsmatrix V = 2 0,1 0,15 0,2 0,3 3 . Ist E 2 die 2 ×2-Einheitsmatrix, dann ist X = E 2 ™; XQG ; x 9™; ( 2 ™; x 9™; ( 2 x 9 ™; :LU PÞVVHQ also das Gleichungssystem (E 2 x 9 ™; < PLW Y = 2 Y 1 Y 2 3 = 2 10 12 3 lösen. Es ist E 2 x 9 2 1 0 0 1 3 x 2 0,1 0,15 0,2 0,3 3 = 2 0,9 ļ ļ 0,7 3 . 'D ™ x ™ ň LVW LVW ( 2 x 9 LQYHUWLHUEDU XQG GDKHU X = (E 2 x 9 ļ ·Y = 2 0,1 ļ ļ 0,7 3 ļ · 2 10 12 3 = 2 0,7 _ 0,6 0,15 _ 0,6 0,2 _ 0,6 0,9 _ 0,6 3 · 2 10 12 3 = 2 47 _ 3 41 _ 2 3 Ň 2 15,67 20,5 3 Die zwei Werke müssen also 15,67ME Strom und 20,5ME Gas erzeugen, um den Eigenbedarf (5,67ME Strom und 8,5ME Gas) und den des Marktes (10ME Strom und 12ME Gas) zu decken. Hat man allgemein mehrere Produktionszweige, die wie in diesem Beispiel voneinander abhän- gig sind, so sind die Begriffe Verflechtungsmatrix, Nachfragevektor und Produktionsvektor wie folgt definiert: B, D ; Matrizenrechnung Nur 2 X X zu Prüfzwecken P P – Eigentum · · X X X X Y Y 0 . . Y Y des Verlags P P öbv