Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

74 3.4 Lineare Gleichungssysteme in Matrizenform Ich lerne zu entscheiden, ob eine 2 ×2-Matrix invertierbar ist, und gegebenenfalls ihre inverse Matrix zu berechnen. Ich lerne lineare Gleichungssysteme in Matrizenform darzustellen und mithilfe von Technologie zu lösen. Ich lerne Produktionsprozesse mit verflochtenen Teilbereichen durch eine Verflechtungs- matrix zu beschreiben und damit Probleme zu lösen. Inverse Matrix Lineare Gleichungssysteme haben wir in Kapitel 2 kennen- gelernt. Mithilfe von Matrizen können wir Gleichungs- systeme kürzer anschreiben. Das System linearer Gleichungen 3x 1 + 4 x 2 = 7 2 x 1 x [ 2 = 1 können wir kürzer so anschreiben: 2 3 2 4 ļ 3 · ( x 1 x 2 ) = 2 7 1 3 Oder noch kürzer: A·x = b, dabei ist A die 2×2 Matrix 2 3 2 4 ļ 3 , b die Spalte 2 7 1 3 mit 2 Zeilen und x die Spalte ( x 1 x 2 ) mit 2 Zeilen. Wir können dann neu definieren, was ein lineares Gleichungssystem ist. Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind eine m×n-Matrix A und eine Spalte b mit m Zeilen. Gesucht ist eine Beschreibung der Menge aller Spalten x (mit n Zeilen) mit der Eigenschaft A·x = b . Die Matrix A wird auch als Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems bezeichnet. Wenn A und b jeweils nur einen Eintrag haben, also Zahlen sind, und A nicht 0 ist, dann ist die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung A·x = b gleich A ļ ·b. Ist das für Matrizen mit mehr als einer Zeile und Spalte auch möglich? Was bedeutet dann A ļ ? Ist z eine reelle Zahl, dann ist z ļ die Zahl mit der Eigenschaft z ļ ·z = 1 = z · z ļ . Für eine n×n-Matrix A definieren wir daher A ļ als eine Matrix mit der Eigenschaft A ļ ·A = E n = A·A ļ , dabei ist E n die n-te Einheitsmatrix. Wenn zu A eine solche Matrix A ļ existiert, dann heißt A invertierbar und A ļ die zu A inverse Matrix. Tipp Eine inverse Matrix zu einer Matrix A kann nur dann existieren, wenn A gleich viele Zeilen wie Spalten hat. Nicht alle Matrizen sind invertierbar: Zum Beispiel ist 2 0 1 0 0 3 nicht invertierbar, denn für alle 2×2-Matrizen 2 a c b d 3 ist 2 0 0 1 0 3 · 2 a b c d 3 = 2 0 0 a b 3 , also können wir nie die Einheitsmatrix E 2 erhalten. Daher ist die Matrix 2 0 0 1 0 3 nicht invertierbar. lineares Gleichungs- system Koeffizienten- matrix invertierbar inverse Matrix Matrizenrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum · E · E des Verlags 2 öbv