Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

71 Achtung Das Rechnen mit Matrizen ist in vieler Hinsicht dem Rechnen mit ganzen Zahlen ähnlich. Es gibt aber einen wichtigen Unterschied: Bei Matrizen darf man die Reihenfolge der Faktoren eines Produktes nicht vertauschen. Auch wenn sowohl A·B als auch B·A berechnet werden können, sind diese zwei Matrizen im Allgemeinen nicht gleich. Beispiel: Es ist 2 0 0 1 0 3 · 2 0 1 0 0 3 = 2 0 0 0 1 3 , aber 2 0 1 0 0 3 · 2 0 0 1 0 3 = 2 1 0 0 0 3 ! 291 Berechne (A·B)·C und A·(B·C) und vergleiche die beiden Ergebnisse. a. A = 2 2 4 1 3 3 ; B = 2 1 2 0 5 3 ; C = 2 0 1 2 4 3 b. A = 2 1 2 0 0 1 4 2 0 1 3 ; B = 2 1 0 2 1 2 1 1 2 0 3 ; C = 2 2 4 3 1 1 0 3 0 1 3 292 Berechne (A + B)·C und A·C + B·C und vergleiche die beiden Ergebnisse. a. A = 2 1 3 2 ļ 3 ; B = 2 2 ļ ļ 3 3 ; C = 2 1 2 2 ļ 3 b. A = 2 1 0 2 2 1 0 0 ļ 1 3 ; B = 2 2 1 ļ 0 1 2 2 1 0 3 ; C = 2 1 1 2 ļ 1 1 3 0 ļ 3 293 Gegeben sind die Matrizen A, B und C. Berechne A·B + A·C und A·(B + C). a. A = 2 1 0 0 2 3 ; B = 2 2 1 1 3 3 ; C = 2 2 1 4 2 3 b. A = 2 2 3 0 1 4 3 3 ļ 1 3 ; B = 2 0 1 ļ 2 0 2 1 1 0 3 ; C = 2 0 1 0 ļ 0 1 0 2 1 3 294 Berechne das Produkt A·(k·E n ). Dabei ist E n die n-te Einheitsmatrix. Sieh dir das Ergebnis genau an und finde eine einfachere Rechenoperation, die auf das gleiche Ergebnis führt. a. A = 2 3 2 5 7 3 ; k = 2 b. A = 2 2 3 2 5 1 0 4 0 3 3 ; k = 5 Rohstoffkosten Die Bedarfsmatrix B und der Nachfragevektor N für eine Produktion von n Produkten aus m Roh- stoffen sind bekannt. Eine Einheit des i-ten Rohstoffs kostet K i GE (1 ª i ª m). Wir fassen die Kosten der Rohstoffe R 1 , …, R m in einer Zeile K = (K 1 K 2 … K m ) zusammen. Das Produkt K·B ist eine Zeile, deren j-ter Eintrag die Kosten für alle Rohstoffe für eine Einheit des j-ten Produk- tes angibt. Das Matrizenprodukt K·B·N ist eine 1 ×1-Matrix. Ihr Eintrag gibt die Gesamtkosten (in GE) für alle Rohstoffe, die zur Erfüllung der Nachfrage nötig sind, an. 295 Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen R 1 , R 2 , R 3 die Produkte P 1 , P 2 , P 3 her. Der Bedarf an Rohstof- fen wird durch die Bedarfsmatrix B = 2 2 0 1 4 3 0 1 2 5 3 angegeben. Der Rohstoffpreis beträgt pro Einheit für R 1 4€, für R 2 9€ und für R 3 6€. Berechne die gesamten Rohstoffkosten, wenn 100 Stück von P 1 , 200 Stück von P 2 und 20 Stück von P 3 produziert werden. Wir fassen die Rohstoffkosten in der Zeile K und die Nachfrage in der Spalte N zusammen: K = (4 9 6), N = 2 100 200 50 3 Dann betragen die gesamten Rohstoffkosten K·B·N = (4 9 6)· 2 2 0 1 4 3 0 1 2 5 3 · 2 100 200 50 3 = (14 43 52)· 2 100 200 50 3 = 12600€. Aus der Zeile (14 43 52) können wir außerdem noch ablesen, dass die Rohstoffkosten für 1 Stück von P 1 14€, für 1 Stück von P 2 43€ und für 1 Stück von P 3 52€ betragen. B , tns iu8yx6 B , B , A, B, C , Rohstoffkosten Gesamt- rohstoffkosten Rohstoffkosten berechnen A, B 3.3 Rechnen mit Matrizen Nur z Prüfzwecken ļ 2 K K – Eigentum 2 4 des Verlags öbv 0