Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

70 289 Von einem zweistufigen Produktionsprozess sind die Gozintographen bekannt. a. Bestimme die Bedarfsmatrizen RZ und ZE und berechne die Bedarfsmatrix RE. b. Es sollen 200 Stück von E 1 , 100 Stück von E 2 und 100 Stück von E 3 produziert werden. Berechne, wie viel Einheiten der Rohstoffe R 1 und R 2 dafür verbraucht werden. 290 Zur Herstellung von Goldschmuck werden Rotgold, Gelbgold und Weißgold verwendet. Diese erhält man, indem man entsprechende Anteile von Gold, Silber, Kupfer und Palladium mischt. Den Bedarf dieser Edel- metalle in Gramm für jeweils 1 g dieser Goldsorten kann dem Gozintographen entnommen werden. a. Stelle die zu diesem Gozintographen gehörende Bedarfsmatrix A auf. b. Ein Juwelier fertigt in einer Schmuckserie Ringe und Arm- bänder an. Die Ringe werden aus 1 g Rotgold, 3g Gelbgold und 3g Weißgold gefertigt, die Armbänder aus 5g Rotgold, 10g Gelbgold und 30g Weißgold. Erstelle die Bedarfsmat- rix B, die den Bedarf an Rotgold, Gelbgold und Weißgold für die Ringe und Armbänder angibt. c. Berechne das Produkt A·B. Interpretiere die Zahl in der ersten Zeile der zweiten Spalte dieses Produktes. d. Der Juwelier erhält einen Auftrag über 20 Ringe und 15 Armbänder. Berechne mithilfe der Matrizenrechnung, wie viel Gramm Gold, Silber, Kupfer und Palladium für die Produktion benötigt werden. Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation Mit E n bezeichnen wir die n-te Einheitsmatrix , das ist die n×n- Matrix, deren Koeffizienten gleich 1 sind, wenn der Zeilenindex gleich dem Spaltenindex ist, und 0 sind, wenn diese Indizes verschieden sind. E n = 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 Für positive ganze Zahlen m, n, p und q bezeichnen wir mit A eine m×n-Matrix, mit B und B ' n×p-Matrizen, mit C eine p×q-Matrix. Dann gilt: E m ·A = A und A·E n = A Multipliziert man eine Matrix mit einer Einheitsmatrix, ändert sich nichts. (A·B) · C = A · (B · C) BeimMultiplizieren von Matrizen können wir die Klammern weglassen. A · (B + B') = A·B + A·B' Addiert man zuerst zwei Matrizen und multipliziert (B + B') · C = B·C + B' · C dann die Summe mit einer dritten, erhält man dieselbe Matrix, wie wenn man zuerst jede der zwei Matrizen mit der dritten multipliziert und dann diese Produkte addiert. Den Übergang von A·(B + B ' ) zu A·B + A·B ' nennen wir ausmultiplizieren , den von A·B + A·B ' zu A·(B + B ' ) herausheben . Um diese Rechenregeln nachzurechnen, benutzt man die entsprechenden Regeln für das Rechnen mit Zahlen. A, B 6 4 3 7 4 2 2 3 1 4 3 5 2 E 1 E 2 E 3 R 1 R 2 R 3 Z 1 Z 2 Z 3 , A, B, C , 0,75 0,92 0,9 0,04 0,25 0,04 0,1 Palladium Kupfer Silber Gold Rotgold Gelbgold Weißgold n-te Einheitsmatrix Rechenregeln für die Matrizen- multiplikation Assoziativ- gesetz Distributiv- gesetz Matrizenrechnung Nur r zu 2 Prüfzwecken e e – Eigentum · · des Verlags öbv