Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

64 Matrizenmultiplikation Wir betrachten eine „zweistufige“ Produktion: Die Rohstoffe R 1 , R 2 , R 3 , R 4 werden zuerst zu Zwischenprodukten Z 1 , Z 2 , Z 3 verarbeitet, aus diesen entstehen dann die Endprodukte E 1 und E 2 . Die Anzahl der Einheiten der einzelnen Rohstoffe R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , die für die Zwischenprodukte Z 1 , Z 2 , Z 3 benötigt werden, bzw. die Anzahl der Einheiten der Zwischenprodukte Z 1 , Z 2 , Z 3 , die zur Erzeugung der Endprodukte E 1 und E 2 benötigt werden, sind durch je einen Gozintographen dargestellt. Man spricht von einem zweistufigen Produktionsprozess . Wir fassen die durch die zwei Gozintographen dargestellten Daten in zwei Matrizen zusammen: Z 1 Z 2 Z 3 E 1 E 2 A = R 1 R 2 R 3 R 4 2 3 2 4 2 2 7 1 3 1 0 6 1 3 B = Z 1 Z 2 Z 3 2 2 1 6 4 5 2 3 Die 4×3-Matrix A beschreibt die Herstellung der Zwischenprodukte aus den Rohstoffen, die 3×2-Matrix B die Herstellung der Endprodukte aus den Zwischenprodukten. Wie viele Einheiten von Rohstoff R 1 werden zur Herstellung von einer Einheit von E 1 benötigt? Für die Herstellung einer Einheit von E 1 braucht man 2 Einheiten des Zwischenproduktes Z 1 , 1 Einheit von Z 2 und 6 Einheiten von Z 3 . Für Z 1 braucht man 3 Einheiten von R 1 , für Z 2 2 Einheiten und für Z 3 1 Einheit von R 1 . Also sind für die Herstellung einer Einheit von E 1 insgesamt 3·2 + 2·1 + 1·6 = 14 Einheiten von R 1 nötig. Diese Rechnung entspricht der Multiplikation der 1. Zeile von A mit der 1. Spalte von B: (3 2 1)· 2 2 1 6 3 = 3·2 + 2·1 + 1·6 = 14 Analog ergibt das Produkt der 1. Zeile von A mit der 2. Spalte von B die Anzahl der Einheiten des Rohstoffs R 1 , die für die Herstellung einer Einheit des Endproduktes E 2 erforderlich sind: (3 2 1)· 2 4 5 2 3 = 3·4 + 2·5 + 1·2 = 24 Auf gleiche Weise erhalten wir für i = 1, 2, 3, 4 und j = 1, 2 die Anzahl D ij der Einheiten des Rohstoffs R i , die für die Produktion des Endproduktes E j erforderlich sind, indem wir die die i-te Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B multiplizieren. Wir fassen diese Zahlen D ij zu der 4×3-Matrix D = 2 14 11 45 13 24 43 33 25 3 zusammen. Die Matrix D bezeichnen wir als Produkt der Matrizen A und B und schreiben kurz: Z 1 Z 2 Z 3 E 1 E 2 E 1 E 2 D = A·B = R 1 R 2 R 3 R 4 2 3 2 4 2 2 7 1 3 1 0 6 1 3 · Z 1 Z 2 Z 3 2 2 1 6 4 5 2 3 = R 1 R 2 R 3 R 4 2 14 11 45 13 24 43 33 25 3 Z 1 Z 3 Z 2 E 1 E 2 R 1 R 2 R 4 R 3 2 4 1 5 6 2 3 1 2 7 0 4 1 6 2 3 1 2 Matrizenrechnung Nur zu 2 Prüfzwecken Z – Eigentum 4 R R des Verlags öbv