Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

38 2.4 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Ich lerne Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten zu berechnen und ihre Lösungsmenge zu zeichnen. Ich lerne ein lineares Gleichungssystem graphisch zu lösen. Ich lerne den Zusammenhang zwischen einer linearen Funktion und einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten kennen. Gleichung einer Geraden Bei einem Sommerfest wird für Erwachsene 5€ Eintritt verlangt und für Kinder 2€. Insgesamt wurden 450€ eingenommen. Lässt sich feststellen, wie viele Personen insgesamt das Sommerfest besucht haben? Offensichtlich nicht, denn um 450€ könnten beispielsweise 90 Erwachsene oder 225 Kinder oder 60 Erwachsene und 75 Kinder das Fest besuchen. Wir überlegen uns: Bezeichnen wir die Anzahl der Erwachsen mit x und die Anzahl der Kinder mit y, so gilt x·5€ + y·2€ = 450€ oder kurz 5x + 2y = 450. Dabei müssen x und y natürliche Zahlen sein. Eine spezielle Lösung erhalten wir, wenn wir beispielsweise 0 für y wählen. Dann muss x = 450 _ 5 = 90 sein. Das Zahlenpaar (90, 0) ist also eine Lösung der Gleichung 5x + 2y = 450. Weiters überlegen wir: 5 Kinder zahlen gleich viel wie 2 Erwachsene (je 10€). Wenn also um 2 Erwachsene weniger das Sommerfest besuchen, können um dasselbe Eintrittsgeld 5 Kinder mehr teilnehmen. Wir erhalten also Lösungen unserer Gleichung, wenn wir von der speziellen Lösung (90, 0) ausgehen und die Anzahl der Erwachsenen schrittweise um 2 vermindern, während wir gleichzeitig die Anzahl der Kinder um 5 erhöhen. Die Menge aller möglichen Lösungen ist daher: / ^ g ` Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind drei Zahlen a, b und c, dabei ist a oder b nicht 0. Finde eine Beschreibung der Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit ax + by = c.“ eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten . Wir schreiben für diese Aufgabe oft kurz: „Löse die Gleichung ax + by = c.“ Wählt man ein Koordinatensystem in der Ebene und fasst dann jeden Punkt als Paar von reellen Zahlen auf, dann ist jede Lösung ein Punkt der Ebene. Man kann zeigen: Die Lösungsmenge der linearen Gleichung ax + by = c ist eine Gerade. Man bestimmt diese Gerade, indem man zwei verschiedene Lösungen berechnet und dann die Gerade durch diese zwei Punkte zeichnet. Ist eine Gerade g die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c, dann heißt diese Gleichung eine Gleichung der Geraden g. Erwachsene Kinder 10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 50 200 250 0 100 150 lineare Gleichung mit zwei Unbekannten Lösungsmenge von ax + by = c Gleichung einer Geraden Lineare Gleichungssysteme Nur b b zu b b Prüfzwecken e e i i – Eigentum b b des b b Verlags öbv