Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

22 Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten Es gibt Gleichungssysteme, die wir sofort lösen können, zum Beispiel ist die einzige Lösung von I) x = 2 ,, \ ļ GDV =DKOHQSDDU ļ Fast ebenso leicht können wir Gleichungssysteme wie I) 2x + 3y = 2 ,, \ ļ lösen: Aus I) und II) schließen wir [ ™ ļ und berechnen daraus x = 11 _ 2 :LU KDEHQ [ GXUFK f(LQVHW]HQ YRQ ļ LQ , u EHUHFKQHW $OVR KDW dieses Gleichungssystem nur die Lösung 2 11 _ 2 ļ 3 . Wie lösen wir Gleichungssysteme, die nicht diese einfache Form haben? Tipp Zum Lösen von Gleichungssystemen verwenden wir folgende Strategie : Wenn wir ein Gleichungssystem nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösung wie das ursprüngliche Gleichungssystem hat. Dies wiederholen wir so lange, bis das Gleichungssystem so einfach ist, dass wir es lösen können. Wir nennen zwei Gleichungssysteme äquivalent , wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Den Übergang von einem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem nennen wir erlaubte Umformung oder Äquivalenzumformung des Gleichungssystems . Folgende Umformungen sind Äquivalenzumformungen: Wenn wir zwei Gleichungen des Gleichungssystems vertauschen, dann erhalten wir ein äquiva- lentes Gleichungssystem. Beispiel: I) 3x + 5y = 13 ist äquivalent zu I) 4x – y = 2 II) 4x – y = 2 II) 3x + 5y = 13 Multiplizieren wir eine Gleichung mit derselben (von 0 verschiedenen) Zahl, dann erhalten wir ein äquivalentes Gleichungssystem. Beispiel: I) 3x + 5y = 13 ist äquivalent zu I) 3x + 5y = 13 II) 4x – y = 2 |·5 II) 20x – 5y = 10 Dividieren wir eine Gleichung durch dieselbe (von 0 verschiedene) Zahl, dann erhalten wir ein äquivalentes Gleichungssystem. Beispiel: I) 3x + 5y = 13 | : 3 ist äquivalent zu I) x + 5 _ 3 y = 13 _ 3 II) 4x – y = 2 II) 4x – y = 2 Ersetzen wir eine der Gleichungen durch die Summe oder die Differenz der beiden Gleichungen, dann erhalten wir ein äquivalentes Gleichungssystem. Beispiel: I) 3x + 5y = 13 ist äquivalent zu I) 3x + 5y = 13 II) 20x – 5y = 10 | I + II II) 23x + 0y = 23 Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, versuchen wir, mithilfe von Äquivalenzumformungen von einem Gleichungssystem der Form I) 3x + 5y = 13 II) 4x – y = 2 zu einem äquivalenten Gleichungssystem der Form I) 1x + 0y = 1 II) 0x + 1y = 2 überzugehen. GeoGebra Löse[ <Liste von Gleichungen> , <Liste von Variablen> ] äquivalent Äquivalenz- umformung Äquivalenz- umformungen von Gleichungs- systemen Lösen eines Gleichungs- systems ein Gleichungs- system lösen ggb 2zf2rn Lineare Gleichungssysteme Nur zu Prüfzwecken G G e e – Eigentum des Verlags e e öbv G G e e