Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

b. Grad: 4; Leitkoeffizient: 1; keine Nullstellen [Die größte Potenz ist 4, also ist der Grad 4, der Koeffizient von x 4 ist 1. Mit einer geeigneten Technologie lösen wir die Gleichung x 4 + 3x 2 – 7x + 12 = 0 und sehen, dass diese Gleichung keine Lösungen hat, daher hat der Graph von f keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.] 538. a. Nullstellen: 1,65 und 2; Die Polynomfunktion hat mindestens Grad 2. b. Nullstellen: 0,6, 1,85 und 3; Die Polynomfunktion hat mindestens Grad 3. 539. A , C , E 540. B , C [Jede Potenzfunktion hat nur eine einzige Nullstelle. B hat 3, C hat 4 Nullstellen. A und D können Graphen von Potenz- funktionen sein, denn sie erfüllen alle Eigenschaften, zum Beispiel dass f(1) = 1 ist.] 5 Winkelfunktionen 5.1 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck 634. 114,59° 4 2rad = 2 2· 180 _ ÿ 3 ° = 114,59° 5 635. 1,0123rad 4 58° = 2 58· ÿ _ 180 3 rad = 1,0123rad 5 636. Die Stehleiter ist 1,96m hoch. 4 Die Leiter bildet ein gleichschenkeliges Dreieck, daher kann die Höhe mit dem Satz von Pythagoras berechnet werden: 9 ______ 2,1 2 – 2 1,5 _ 2 3 2 = 1,96 5 637. a = 20 _ 9 _ 6 Ň FP E 30 _ 9 _ 6 Ň FP 4 a = 2t, b = 3t; Flächeninhalt: a·b _ 2 = 50 w 6t 2 = 100 w t = 10 _ 9 _ 6 5 638. sin( ñ ) = d _ c , cos( ñ ) = f _ c , tan( ñ ) = d _ f 639. a. sin( ð ) = 0,49; cos( ð ) = 0,87; tan( ð ) = 0,57 b. sin( ñ ) = 0,27; cos( ñ ) = 0,96; tan( ñ ) = 0,28 c. sin( ò ) = 0,43; cos( ò ) = 0,9; tan( ò ) = 0,48 d. sin( ó ) = 0,94; cos( ó ) = 0,33; tan( ó ) = 2,82 640. 7,41° [13% Steigung bedeutet, dass es auf einer Länge von 100m 13m Höhenunterschied gibt. Bezeichnen wir den Steigungswinkel mit ð , dann ist tan( ð ) = 13 _ 100 , daher ist ð = 7,41°.] 641. Der horizontale Platzbedarf beträgt 6m. [Wenn x die horizontale Länge ist, dann gilt tan(35°) = 4,20 _ x , daher ist x = 4,20 __ tan(35°) = 6,00] 5.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion 654. a. c. b. 655. a. sin 2 ļ ÿ _ 2 3 ļ b. cos 2 11 ÿ _ 3 3 = 1 _ 2 c. tan 2 ļ 9 ÿ _ 4 3 ļ 656. C A ist nicht richtig, weil zum Beispiel cos(0) = 1 ist. B ist nicht richtig, weil aus cos( ð ) = 0 immer cos( ð ± 2 ÿ ) = 0 folgt. C ist richtig, weil für alle ð gilt: sin( ð + 2 ÿ ) = sin( ð ) 5.3 Dreiecke und Vermessungsaufgaben 689 . a. ð = 28,32°; ñ = 108,43°; ò = 43,25° [Wir berechnen zum Beispiel zunächst aus dem Cosinussatz mit cos( ò ) = a 2 + b 2 – c 2 _ 2ab den Winkel ò und dann die übrigen Winkel mit- hilfe des Cosinus- oder Sinussatzes.] b. b = 38,62m; ð = 70,43°; ò = 57,68° [Wir berechnen mithilfe des Cosinussatzes b 2 = a 2 + c 2 – 2ac·cos( ñ ) die Seite b. Den zweiten Winkel berechnen wir mithilfe des Sinus- oder Cosinussatzes, den dritten Winkel am schnellsten über die Winkelsumme im Dreieck von 180°.] c. c = 59,76m; ð = 40,31; ò = 56,63° [ ñ liegt der längeren Seite b gegenüber, daher gibt es nur eine Lösung. Wir berechnen zuerst ð mithilfe des Sinussatzes, danach den Winkel ò aus ò = 180° – ð – ñ und schließlich mithilfe des Sinussatzes die Seite c.] d. b = 5,62m; c = 6,63m; ò = 90,18° [Wir berechnen zuerst b mithilfe des Sinussatzes, dann ò = 180° – ð – ñ und schließlich mithilfe des Sinussatzes die Seite c.] 690 . a. Cosinussatz; zum Beispiel: r 2 = t 2 + s 2 – 2ts·cos(x) b. Cosinussatz; zum Beispiel: x 2 = t 2 + r 2 – 2tr·cos( ð ) c. Sinussatz; zum Beispiel: r ___ sin(180° – ð – ñ ) = x _ sin( ð ) 691. 820m [Mit den Bezeichnungen aus der Skizze können wir zunächst ò berechnen: ò = 180° – ð – (180° – ñ ) = ñ – ð = 15,80°. Jetzt berechnen wir zum Beispiel die Länge der Seite BC mithilfe des Sinus- satzes: _ BC = _ AB _ sin( ò ) ·sin( ð Ň P Da das Dreieck Ù BHC in H einen rechten Winkel hat, erhalten wir die Länge der Kathete HC aus _ HC = _ BC·sin( ñ ) = 500,10m. Da die Messung in einer Seehöhe von 320m stattfindet, ist die Höhe des %HUJHV Ň P @ 692. 33,80m Was habe ich in diesem Semester gelernt? – 4. Semester Zahlen und Maße 713. B , C , D Begründung: A ist nicht richtig, weil ÿ _ 2 rad = 2 ÿ _ 2 · 180 _ ÿ 3 ° = 90° ist. B ist richtig, weil 60° = 60· ÿ _ 180 rad = ÿ _ 3 rad ist. C ist richtig, weil 2 ÿ rad = 2 2 ÿ · 180 _ ÿ 3 ° = 360° ist. D ist richtig, weil 1rad = 1· 2 180 _ ÿ 3 ° = 57,2958° > 1° ist. 714. a. 0,5326rad 4 30° = 2 30· ÿ _ 180 3 rad = 0,5326rad 5 b. 1,0193rad 4 58° 24’ = 2 58 + 24 _ 60 3 ° = 58,4° = 2 58,4· ÿ _ 180 3 rad = 1,0193rad 5 c. 0,398rad 4 22° 48’ 12’’ = 2 22 + 48 _ 60 + 12 _ 3600 3 ° = 22,8033° = 2 22,8033· ÿ _ 180 3 rad = = 0,398rad 5 d. 1,3943rad 715. a. 45° 4 ÿ _ 4 rad = 2 ÿ _ 4 · 180 _ ÿ 3 ° = 45° 5 b. 8,59° c. 70,47° d. 53,86° Algebra und Geometrie 716. a. /ØVXQJHQ XQG ļ >[ 2 = 4, also x 1 = 2, x 2 ļ @ b. /ØVXQJHQ XQG ļ [3x 2 + 12x = x(3x + 12) = 0, also x 1 = 0, 3x + 12 = 0 w x 2 ļ @ c. /ØVXQJHQ XQG ļ 4 x 1, 2 = 15 _ 2 ± 9 ____ 15 2 _ 4 + 34 w x 1 = 15 _ 2 + 9 __ 361 _ 4 = 15 _ 2 + 19 _ 2 = 17, x 2 = 15 _ 2 – 19 _ 2 ļ 5 d. /ØVXQJHQ XQG ļ 3 _ 2 4 x 1, 2 = 5 _ 4 ± 9 _________ ļ 5 _ 4 ) 2 – 4· 1 _ 2 ™ ļ ___ 2· 1 _ 2 w x 1 = 5 _ 4 + 11 _ 4 = 4, x 2 = 5 _ 4 – 11 _ 4 ļ 3 _ 2 5 cos (45°) sin (45°) y x 45° 45° y x ó Ă 2 ó – Ă 2 ó – cos( ) sin( ó ) y x sin (180° – ó ) sin ( ó ) 180° – ó ó ó 300m ô 180° – ô ó h õ A B H C 186 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des M M Verlags · · · · M M öbv