Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

156 680 (LQ 6FKLII HQWIHUQW VLFK PLW HLQHU *HVFKZLQGLJNHLW YRQ NP K LQ JHUDGHU /LQLH YRQ HLQHP KRKHQ Leuchtturm. Um 10 Uhr sieht der Leuchtturmwärter von der Spitze des Leuchtturms das Schiff XQWHU HLQHP :LQNHO YRQ ’ XQG 0LQXWHQ VSÆWHU VLHKW HU HV XQWHU HLQHP :LQNHO YRQ ’ Ermittle die Höhe des Leuchtturms. 681 (LQ %HVXFKHU HLQHV 1DWLRQDOSDUNV VWHKW DXI HLQHU $XVVLFKWVSODWWIRUP LQ HLQHU +ØKH YRQ P oberhalb des Bodens. Er betrachtet einen Baum und sieht den Baumwipfel dabei unter einem +ØKHQZLQNHO YRQ ’ 'HQ )XÁ GHV %DXPVWDPPHV VLHKW HU XQWHU HLQHP 7LHIHQZLQNHO YRQ ’ a. )HUWLJH HLQH 6NL]]H DQ b. Berechne die gesamte Höhe des Baumes. c. 'HU %HVXFKHU VWHOOW VLFK DXI GHU 3ODWWIRUP P ZHLWHU ZHJ YRP %DXP ¾EHUOHJH RE GHU Baumwipfel dann unter einem größeren oder einem kleineren Winkel erscheint. Begründe. 682 Ein Klippenspringer steht 20m oberhalb der Wasseroberfläche, als er die Spiegelung eines Heißluftballons im Wasser bemerkt. Der Winkel zum Spiegelbild beträgt dabei ð = 60°. Hebt er seinen Blick, so sieht er den Heißluftballon unter einem Winkel von ñ ’ a. Berechne, in welcher vertikalen Höhe v der Ballon über der Wasser- oberfläche schwebt. b. Ermittle, in welcher horizontalen Entfernung h vom Springer der Ballon schwebt. c. Untersuche, ob die folgende Aussage stimmt: Wenn der Springer GDV 6SLHJHOELOG XQWHU HLQHP :LQNHO YRQ ’ VLHKW GDQQ LVW GHU %DO- lon horizontal genauso weit vom Springer entfernt wie vertikal von der Wasseroberfläche. 683 Um den Abstand zweier kleiner Inseln C und D zu bestimmen, misst man am Ufer von zwei Messpunkten A und B mit genau P $EVWDQG YRQHLQDQGHU GLH IROJHQGHQ :LQNHO (siehe Skizze): ð C = 111,8°, ð D ’ ñ C ’ ñ D ’ Berechne den Abstand zwischen C und D. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die gesuchte Länge zu berechnen. Wir gehen beispielsweise so vor: Im Dreieck Ù ABC können wir den Winkel ò bei C und die Länge _ BC der Strecke BC berechnen: ò = 180° – ð C – ñ C ’ Mit dem Sinussatz erhalten wir sin( ð C ) _ _ BC = sin( ò ) _ _ AB , daher ist _ BC = sin( ð C ™ _ AB _ sin( ò ) VLQ ’ ™ __ VLQ ’ = 860,26m. Im Dreieck Ù ABD können wir den Winkel ó bei D und die Länge der Strecke BD berechnen: ó = 180° – ð D – ñ D ’ Mit dem Sinussatz erhalten wir sin( ð D ) _ _ BD = sin( ó ) _ _ AB , daher ist _ BD = sin( ð D ™ _ AB _ sin( ó ) VLQ ’ ™ __ VLQ ’ P Im Dreieck Ù BCD können wir den Winkel ñ bei B und die Länge der Strecke _ CD berechnen: ñ = ñ D – ñ C ’ Mit dem Cosinussatz erhalten wir _ CD 2 = _ BC 2 + _ BD 2 x ™ _ %&™ _ %'™FRV ñ _ CD = 9 ______ P Der Abstand zwischen den beiden Inseln beträgt rund 922m. 684 Zwischen zwei Orten A und B liegt ein See. Um den Abstand zwischen den Orten zu messen, wird von einem Punkt C aus der Abstand zu A mit P XQG GHU $EVWDQG ]X % PLW P VRZLH GHU :LQNHO Ĉ zwischen den Strecken CA und CB mit 62° gemessen. Berechne den Abstand zwischen A und B. A, B , A, B, D , 20m ó ô v v h A, B, C ; eine Vermessungs- aufgabe lösen A, B ó D ó C ô C ô D B D C A A, B B A C ċ , Winkelfunktionen Nur zu b b Prüfzweck n – Eigentum b b ð ) ) ð ) ) des b b Verlags öbv