Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

155 Vermessungsaufgaben Berechnungen im Dreieck können für Vermessungen genutzt werden. Beim Vermessen nennt man den Winkel zwischen der Blickrichtung parallel zur Erdoberfläche und der Blickrichtung zum anvisierten Punkt P einen Höhenwinkel , wenn P oberhalb der Blickrichtung liegt, und einen Tiefenwinkel , wenn P unterhalb der Blickrichtung liegt. Tipp Um Vermessungsaufgaben zu lösen, gibt es meist mehrere mögliche Vorgangsweisen. Nützlich ist, sich zunächst eine Skizze zu machen, in der man die bekannten Längen und Winkel einzeich- net. Nun sucht man in dieser Skizze Dreiecke, von denen man bereits genug Bestimmungsstücke kennt, um die übrigen Längen und Winkel mithilfe der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck oder mithilfe des Sinus- oder des Cosinussatzes zu berechnen. 675 Um die Höhe eines Hügels zu bestimmen, visiert man von einem Punkt der Ebene aus eine 2m lange Mess- latte auf dem Gipfel des Hügels unter den Höhen- winkeln ð B ’ XQG ð C ’ DQ VLHKH 6NL]]H Berechne die Höhe des Hügels. Im Dreieck Ù ABC berechnen wir zunächst mithilfe des Sinussatzes die Länge _ AB der Strecke AB. Den Winkel in diesem Dreieck bei A bezeichnen wir mit ð , den bei C mit ò . Dann ist ò = 180° – 90° – ð C ’ und ð = ð C – ð B = 4,96°. sin( ò ) _ _ AB = sin( ð ) _ a , daher ist _ AB = sin( ò ™ a _ sin( ð ) VLQ ’ ™ 2 __ sin(4,96°) = 19,48m. Im rechtwinkeligen Dreieck Ù ADB ist die gesuchte Höhe h die Gegenkathete von ð B : sin( ð B ) = h _ _ AB , daher ist h = _ $%™VLQ ð B ™VLQ ’ P Der Hügel ist rund 9m hoch. 676 'LH +ØKH HLQHV *HEÆXGHV VROO YHUPHVVHQ ZHUGHQ 'DIÞU ZLUG HLQH P lange gerade Messlatte am Dach des Hauses positioniert (Skizze rechts). Dann wird vom Boden aus das obere und das untere Ende der Latte anvisiert. Dabei werden die Höhenwinkel ð = 61° und ñ = 64° gemessen. Berechne die Höhe des Gebäudes. 677 Auf dem Dach eines Hauses befindet sich ein 2m hoher Sendermast. Von einem Beobachtungspunkt auf der ebenen Zufahrtsstraße HUVFKHLQHQ GHU )XÁSXQNW GHV 6HQGHUPDVWHV XQWHU HLQHP :LQNHO YRQ ’ XQG GLH 6SLW]H XQWHU HLQHP :LQNHO YRQ ’ 'DV 0HVVJHUÆW EHILQGHW VLFK GDEHL DXI HLQHU +ØKH YRQ P a. Berechne die Höhe des Hauses. b. Berechne, wie weit die Spitze des Sendermasts vom Beobachter entfernt ist. 678 9RQ HLQHP P KRKHQ +DXV SHLOW PDQ GLH EHLGHQ 8IHU HLQHV )OXVVHV XQWHU GHQ 7LHIHQZLQNHOQ ’ XQG ’ DQ %HUHFKQH GLH %UHLWH GHV )OXVVHV XQG GLH (QWIHUQXQJ GHV +DXVHV ]XP QÆKHUHQ )OXVVXIHU 679 Die Höhe eines Mastes soll bestimmt werden. Dafür wird von einem P KRKHQ +ÞJHO DXV GHU +ØKHQZLQNHO ð ’ ]XU 6SLW]H GHV 0DVWHV und der Tiefenwinkel ñ ’ ]XP )XÁSXQNW GHV 0DVWHV JHPHVVHQ Ermittle die Höhe des Mastes. P P Höhenwinkel Tiefenwinkel ó B ó C a h D B C A eine Vermessungs- aufgabe lösen A, B A, B 3m ó ô , A, B , A, B 13° 24° ggb st7zt3 , , A, B h H ô ó 5.3 Dreiecke und Vermessungsaufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv