Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

152 658 Gib den Sinus- und Cosinussatz für das Dreieck mit den angegebenen Bezeichnungen an. a. b. c. 659 Untersuche, welche der Behauptungen für das skizzierte Dreieck richtig sind. t s u ó ô õ A sin( ð ) = u _ t B t _ sin( ð ) = s _ sin( ò ) C u _ sin( ð ) = t _ sin( ñ ) D sin( ð ) _ u = sin( ò ) _ s E cos( ñ ) = s _ t F t 2 = s 2 + u 2 G u 2 = t 2 + s 2 x WV™FRV ð ) H u 2 = t 2 + s 2 x WV™FRV ñ ) I s 2 = u 2 + s 2 XV™FRV ñ ) 660 Zeichne ein Dreieck mit einer geeigneten Technologie. Benenne die Punkte, Seiten und Winkel in der üblichen Weise. Berechne dann die Quotienten a _ sin( ð ) , b _ sin( ñ ) und c _ sin( ò ) . Verschiebe nun die Eck- punkte des Dreiecks beliebig und achte darauf, wie sich die Quotienten verändern. Dokumentiere deine Beobachtungen. 661 $UEHLWHW LQ =ZHLHUJUXSSHQ -HGH U YRQ HXFK ]HLFKQHW HLQ EHOLHELJHV 'UHLHFN XQG EH]HLFKQHW GHVVHQ 6HLWHQ XQG :LQNHO EHOLHELJ DEHU HLQGHXWLJ -HGH U IRUPXOLHUW GDQQ IÞU GDV 'UHLHFN GHQ Sinus- und Cosinussatz. Tauscht nun die Dreiecke und kontrolliert, ob Sinus- und Cosinussatz richtig formuliert wurden. 662 Beweise, dass für rechtwinkelige Dreiecke der Satz von Pythagoras und der Cosinussatz für den rechten Winkel übereinstimmen. 663 Stimmt die Behauptung, dass der Sinussatz in rechtwinkeligen Dreiecken nicht gilt? Begründe. Seiten und Winkel des Dreiecks Wenn wir von einem Dreieck nicht alle Seitenlängen und Winkel kennen, können wir die fehlen- den wie folgt berechnen: gegeben sind berechnet wird Berechnung mithilfe von drei Seiten beliebiger Winkel Cosinussatz zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel dritte Seite Cosinussatz zwei Seiten und ein Winkel, der einer der beiden Seiten gegenüberliegt weiterer Winkel (eventuell zwei Lösungen) Sinussatz eine Seite und zwei Winkel weitere Seite Sinussatz drei Winkel Durch drei Winkel allein ist ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt. 664 (LQ 'UHLHFN KDW GLH 6HLWHQOÆQJHQ D FP E FP F FP %HUHFKQH VHLQH :LQNHO Wir berechnen den Winkel ð mithilfe des Cosinussatzes. :HLO D” E” F” x EF™FRV ð ) ist cos( ð ) = b² + c² – a² __ 2bc = ” ” x ” __ ™ ™ ð DUFFRV ’ Den Winkel ñ berechnen wir mithilfe des Sinussatzes sin( ñ ) _ b = sin( ð ) _ a : sin( ñ E™ sin( ð ) _ a ™ VLQ ’ __ Á DUFVLQ ’ Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°, also ist ò = 180° – ð – ñ ’ A : õ ÷ ö z y x þ ö ÷ b a c ô ó õ m l k C , B, C ggb z4k75q , A, D , D ; D ; B Winkel eines Dreiecks berechnen, wenn drei Seiten gegeben sind ô õ ó b a c Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags l öbv