Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

144 Steigung 'HU *UDSK HLQHU OLQHDUHQ )XQNWLRQ I PLW ¦QGHUXQJVUDWH N XQG 2UGLQDWHQDEVFKQLWW G LVW HLQH Gerade in der Ebene. Wir nehmen im Weiteren an, dass k positiv ist. )ÞU HLQH UHHOOH =DKO ] QHQQHQ ZLU GDV 'UHLHFN PLW GHQ Eckpunkten A = (z 1 f(z)), C = (z + 1 1 f(z)) und B = (z + 1 1 f(z + 1)) das Steigungsdreieck von f in z. Der Winkel dieses Dreiecks bei A heißt Steigungs- winkel des Graphen von f in z, wir bezeichnen ihn mit ð . Das Steigungsdreieck hat einen rechten Winkel bei C. Die Strecke zwischen A und C hat die Länge 1. Wegen f(z + 1) = f(z) + k hat die Strecke zwischen B und C die Länge k. Deshalb ist tan( ð ) = k _ 1 = k. Das Steigungsdreieck ist für jede Zahl z ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem die Katheten die Längen 1 und k haben. Deshalb sprechen wir einfach vom Steigungsdreieck von f. Der Winkel ð ist daher auch für alle z derselbe und wir sprechen einfach vom Steigungswinkel des Graphen von f. Je größer k ist, desto größer ist der Steigungswinkel ð 'DKHU QHQQW PDQ GLH ¦QGHUXQJVUDWH k = tan( ô ) von f auch die Steigung des Graphen von f. Der Steigungswinkel ist ô = arctan(k) . Die (durchschnittliche) Steigung einer Straße , eines Weges, einer %DKQVWUHFNH g in Prozent ist der Quotient von überwundener Höhe und zurückgelegter horizontaler Länge. Sie wird in Prozent angegeben. Eine Steigung von 8% bedeutet zum Beispiel, dass auf 100m horizontaler Länge 8m Höhe überwunden werden. 622 %HUHFKQH GHQ 6WHLJXQJVZLQNHO GHV *UDSKHQ GHU OLQHDUHQ )XQNWLRQ I PLW I [ = 2x + 4. 'HU *UDSK GHU OLQHDUHQ )XQNWLRQ I KDW GLH 6WHLJXQJ IÞU GHQ 6WHLJXQJVZLQNHO ð gilt tan( ð ) = 2. Daher ist ð DUFWDQ Ň ’ 623 %HUHFKQH GHQ 6WHLJXQJVZLQNHO GHV *UDSKHQ GHU OLQHDUHQ )XQNWLRQ I a. f(x) = _ 4 x b. I [ [ c. I [ [ 624 Berechne die durchschnittliche Steigung der Passstraße. a. *URÁJORFNQHU +RFKDOSHQVWUDÁH 1RUG YRQ %UXFN NP Straßenlänge, 1 894m Höhendifferenz b. Großglockner Hochalpenstraße Süd (von Heiligenblut): NP 6WUDÁHQOÆQJH P +ØKHQGLIIHUHQ] c. St. Gotthardpass Süd (von Airolo): 14,6 km Straßenlänge, P +ØKHQGLIIHUHQ] d. %DOPEHUJ 6ÞG YRQ *ÞQVEHUJ NP 6WUDÁHQOÆQJH P +ØKHQGLIIHUHQ] 625 :HOFKHP :LQNHO HQWVSULFKW HLQH 6WHLJXQJ YRQ " )LQGH GLH $QWZRUW RKQH 7DVFKHQUHFKQHU und begründe. 626 Eine Straße hat eine Steigung von 12%. Berechne den Steigungswinkel dieser Straße. 627 Eine Straße hat eine Steigung von 14%. Berechne den Steigungswinkel dieser Straße. A B C x 1 z f z + 1 0 1 y ó 1 k Steigungs- dreieck Steigungs- winkel ggb 4c4wd5 Steigung horizontaler Länge h ó Steigung einer Straße in Prozent B ggb/tns QP [ L den Steigungs- winkel des Graphen einer linearen Funktion berechnen B : B, C , D , , B B , Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv