Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

141 610 Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit Eckpunkten A, B und C sind die Länge der Hypotenuse F FP XQG GHU :LQNHO ð ’ EHNDQQW %HUHFKQH GLH /ÆQJHQ GHU .DWKHWHQ D XQG E VRZLH GHQ Winkel ñ . Es ist sin( ð ) = Gegenkathete _ Hypotenuse = a _ c , also ist D F™VLQ ð ™VLQ ’ Ň FP Es ist cos( ð ) = Ankathete _ Hypotenuse = b _ c , also ist E F™FRV ð ™FRV ’ Ň FP (Wir könnten b auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen, da wir a und c schon kennen.) ñ = 180° – 90° – ð = 90° – ð ’ 611 Von einem rechtwinkeligen Dreieck (siehe Skizze) kennt man eine Seite und einen Winkel. Berechne die übrigen Bestimmungsstücke. a. b. c. d. e. a 9 cm PP b PP c 12 cm GP ð ’ 22° 0,89 rad ñ ’ 18° 12’ Arcusfunktionen Aus der Definition von sin( ð ), cos( ð ) und tan( ð ) folgt: Ist x eine Zahl mit 0 ª x < 1, dann gibt es genau einen Winkel ð mit 0° ª ð < 90° (oder im Bogen- maß 0 ª ð < ÿ _ 2 ) mit sin( ð ) = x. Wir nennen diesen Winkel den Arcussinus von x und schreiben ô = arcsin(x) . Ist x eine Zahl mit 0 < x ª 1, dann gibt es genau einen Winkel ð mit 0° ª ð < 90° (oder im Bogen- maß 0 ª ð < ÿ _ 2 ) mit cos( ð ) = x. Wir nennen diesen Winkel den Arcuscosinus von x und schreiben ô = arccos(x) . Ist x eine nicht-negative reelle Zahl, dann gibt es genau einen Winkel ð mit 0° ª ð < 90° (oder im Bogenmaß 0 ª ð < ÿ _ 2 ) mit tan( ð ) = x. Wir nennen diesen Winkel den Arcustangens von x und schreiben ô = arctan(x) . )ÞU =DKOHQ ð mit 0 ª ð < ÿ _ 2 und x mit 0 ª x < 1 ist arcsin(x) = ô genau dann, wenn sin( ô ) = x ist. )ÞU =DKOHQ ð mit 0 ª ð < ÿ _ 2 und x mit 0 < x ª 1 ist arccos(x) = ô genau dann, wenn cos( ô ) = x ist. )ÞU =DKOHQ ð mit 0 ª ð < ÿ _ 2 und x mit 0 ª x ist arctan(x) = ô genau dann, wenn tan( ô ) = x ist. Achtung Anstelle von arcsin(x) findet man oft auch die Bezeichnungen sin ļ (x) und asin(x). Ebenso sind auch cos ļ (x) und acos(x) bzw. tan ļ (x) und atan(x) gebräuchlich. GeoGebra Ausgabe im Bogenmaß: arcsin( <x> ) oder asin( <x> ) arccos( <x> ) oder acos( <x> ) arctan( <x> ) oder atan( <x> ) Ausgabe im Gradmaß: Winkel[arcsin( <x> )] Winkel[arccos( <x> )] Winkel[arctan( <x> )] Bogenmaß: Gradmaß: Berechnungen am rechtwinkeligen Dreieck B c b a A B C ó ô c b a A B C ó ô B : Arcussinus Arcuscosinus Arcustangens Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens berechnen ggb bm6yb8 5.1 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck Nur zu ) ) Prüfzwecken ) ) – Eigentum ) ) des Verlags öbv