Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

138 Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck )ÞKUW LQ HXUHU .ODVVH IROJHQGHV ([SHULPHQW GXUFK ƒ -HGH U YRQ HXFK ]HLFKQHW HLQ UHFKWZLQNHOLJHV 'UHLHFN EHL GHP HLQ :LQNHO ’ LVW XQG PLVVW GDQQ die Seiten dieses Dreiecks ab. ƒ 'DQQ EHUHFKQHW MHGH U GHQ 4XRWLHQWHQ GHU .DWKHWHQOÆQJH GLH GHP :LQNHO ’ JHJHQÞEHU liegt, und der Kathetenlänge, die an dem :LQNHO ’ DQOLHJW ƒ Vergleicht eure Ergebnisse. Was fällt euch auf? Man kann zeigen, dass der Quotient der zwei Katheten- längen in einem rechtwinkeligen Dreieck, den ihr gera- de berechnet habt, nur vom Winkel abhängt, und nicht von den Seitenlängen des Dreiecks. Den Beweis kannst du in der Online-Ergänzung zu diesem Buch nachlesen. Wir nennen einen der spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ð . Die Kathete, die ð gegenüberliegt , nennen wir die Gegenkathete zu ð . Die Kathete, die am Winkel ð anliegt , bezeichnen wir als Ankathete zu ð . Häufig schreiben wir anstatt „Seitenlänge der Ankathete“ abkürzend einfach „Ankathete“, ebenso für Gegenkathete und Hypotenuse. Die Quotienten dieser Seitenlängen haben eine wichtige Bedeutung. Der Sinus von ð ist der Quotient sin( ô ) = Gegenkathete __ Hypotenuse . Der Cosinus von ð ist der Quotient cos( ô ) = Ankathete __ Hypotenuse . Der Tangens von ð ist der Quotient tan( ô ) = Gegenkathete __ Ankathete . Wir können sin( ð ), cos( ð ) und tan( ð ) an einem Viertelkreis mit Radius 1 veranschaulichen. Wir EHWUDFKWHQ ]XQÆFKVW GDV UHFKWZLQNHOLJH 'UHLHFN Ł $3 Nach Definition des Sinus ist sin( ð ) = Gegenkathete _ Hypotenuse = Länge von AP _ 1 , das heißt, die Länge der Strecke AP ist sin( ð ). Nach Definition des Cosinus ist cos( ð ) = Ankathete _ Hypotenuse = Länge von 0A _ 1 , das heißt, die Länge der Strecke 0A ist cos( ð ). 1XQ EHWUDFKWHQ ZLU GDV UHFKWZLQNHOLJH 'UHLHFN Ł %& 1DFK 'HILQLWLRQ GHV 7DQJHQV LVW tan( ð ) = Gegenkathete _ Ankathete = Länge von BC _ Länge von 0B = Länge von BC _ 1 , das heißt, die Länge der Strecke BC ist tan( ð ). 'HU 6DW] YRQ 3\WKDJRUDV IÞU GDV UHFKWZLQNHOLJH 'UHLHFN PLW GHQ (FNSXQNWHQ Ł $3 HUJLEW sin( ð ) 2 + cos( ð ) 2 = 1. Aus der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens folgt unmittelbar: sin(0) = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0 Material fk5c4e Ankathete Gegenkathete ó Gegenkathete Ankathete Sinus Cosinus Tangens cos( ó ) sin( ó ) tan( ó ) 0 D 1 P C A B ó Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags A öbv t