Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

136 Der Satz von Pythagoras Wenn ein Winkel eines Dreiecks ein rechter Winkel ist, sprechen wir von einem rechtwinkeligen Dreieck . Die Seiten, die aufeinander normal stehen, heißen Katheten . Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse . Dabei bezeichnen wir mit a und b immer die Längen der Katheten und mit c die Länge der Hypo- tenuse. Der Satz von Pythagoras beschreibt den Zusammenhang zwischen diesen drei Längen. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. Mit den Bezeichnungen aus der Skizze wird das kurz so formu- liert: a 2 + b 2 = c 2 (LQH 0ØJOLFKNHLW GDV ]X EHZHLVHQ ILQGHVW GX LQ $XIJDEH Es gilt auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras: Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks und ist a 2 + b 2 = c 2 , dann ist das Dreieck recht- winkelig. Dieses Ergebnis wurde früher von Bauleuten benutzt, um rechte Winkel herzustellen. Drei Personen A, B, C bekommen drei Seile PLW GHQ /ÆQJHQ XQG (V LVW 2 + 4 2 2 . Jede Person nimmt die Enden von zwei Seilen so in die Hand, dass ein Dreieck aus GHQ 6HLOHQ HQWVWHKW & QLPPW GLH 6HLOH PLW GHQ /ÆQJHQ XQG Sie gehen so weit auseinander, dass alle Seile straff gespannt sind. Dann bilden die Seile bei C einen rechten Winkel. 580 ,Q HLQHP UHFKWZLQNHOLJHQ 'UHLHFN LVW GLH .DWKHWHQOÆQJH D FP XQG GLH /ÆQJH GHU +\SRWHQXVH F FP %HUHFKQH GLH /ÆQJH E GHU DQGHUHQ .DWKHWH Nach dem Satz von Pythagoras ist a 2 + b 2 = c 2 . Daraus erhalten wir b = 9 ____ c 2 – a 2 = 9 ____ 2 x 2 = 9 __ Ň 'LH .DWKHWHQOÆQJH E LVW UXQG FP 581 In einem rechtwinkeligen Dreieck sind a und b die Längen der Katheten und c die Länge der Hypotenuse. Zwei dieser drei Längen sind gegeben. Berechne die dritte. a. D P F P c. D P F 9 _ 2 m e. D P E P b. E P F P d. D P E P f. E P F P 582 Ein Rechteck hat die Seitenlängen a und b. Erkläre, wie man die Länge der Diagonalen berechnet. 583 Kreuze an, welche der Dreiecke mit den Seitenlängen a, b und c rechtwinkelig sind. Begründe. A B C D E F a FP P 800 cm 90 cm 110 cm 12 cm b 12 cm 24m P P P FP c FP P GP 4,1m FP PP 584 Barbaren wollen mithilfe von Leitern die Mauer einer Burg überwinden. Ermittle, wie lange diese /HLWHUQ PLQGHVWHQV VHLQ PÞVVHQ ZHQQ GLH 0DXHU P KRFK XQG YRQ HLQHP P EUHLWHQ Wassergraben umgeben ist. rechtwinkeliges Dreieck Hypotenuse Kathete Kathete Kathete Hypotenuse Satz von Pythagoras c b a A B C ó ô Umkehrung des Satzes von Pythagoras A B C den Satz von Pythagoras anwenden B B : D , D , A, B , Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum a a des Verlags öbv