Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

120 4.4 Polynomfunktionen Ich lerne Polynomfunktionen und einige ihrer Eigenschaften kennen. Ich lerne Potenzfunktionen und einige ihrer Eigenschaften kennen. Ein Autohändler überlegt sich ein Teilzahlungs- angebot für ein Auto, das 15000€ kostet. Die Käuferin oder der Käufer zahlt 5000€ an und nach einem, zwei und drei Jahren je 2500€. Nach vier Jahren ist die Restzahlung fällig. Diese berechnet der Autohändler so: Er nimmt einen gleichbleiben- den Jahreszinssatz von p% an und schreibt q für den Aufzinsungsfaktor 1 + p _ 100 . Zu Beginn des zweiten Jahres schuldet ihm die Käuferin oder der Käufer 10000q – 2500€, zu Beginn des dritten Jahres (10000q – 2500)q – 2500€ und zu Beginn des vierten Jahres ((10 000q – 2500)q – 2500)q – 2500€. Die Restzahlung zu Beginn des vierten Jahres beträgt bei einem Aufzinsungsfaktor q also R(q) = (((10000q – 2500)q – 2500)q – 2500)q€. Verlangt der Autohändler keine Zinsen, ist q = 1 und die Restzahlung ist R(1) = 2500€. Bei einem Jahreszinssatz von 2% ist q = 1,02 und die Restzahlung ist R(1,02) = 3020,30€. Bei einem Jahreszinssatz von 3% ist q = 1,03 und die Restzahlung ist R(1,03) = 3296,02€. Die „Restzahlungsfunktion“ R mit R(q) = (((10000q – 2500)q – 2500)q – 2500)q = 10000q 4 – 2500q 3 – 2500q 2 – 2500q ordnet jeder reellen Zahl q = 1 + p _ 100 den Betrag der Restzahlung in Euro bei einem Jahreszinssatz von p% zu. Der Funktionswert R(q) von R an der Stelle q kann durch einige Subtraktionen, Additi- onen und Multiplikationen berechnet werden. Solche Funktionen nennt man Polynom- funktionen . Sind Zahlen c 0 , c 1 , c 2 , … c n – 1 , c n gegeben, dann nennt man die Funktion p: R ¥ R mit p(x) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + … c 2 x 2 + c 1 x + c 0 eine Polynomfunktion oder kurz ein Polynom . Die Zahlen c 0 , c 1 , c 2 , … c n – 1 , c n heißen Koeffizienten des Polynoms. c 0 ist der nullte , c 1 der erste , c n der n-te Koeffizient . Man kann zeigen, dass die Koeffizienten einer Polynomfunktion eindeutig bestimmt sind. Daher können wir jeder Polynomfunktion eine natürliche Zahl, ihren Grad , zuordnen. Den größten Exponenten, der bei der Polynomfunktion p auftritt, nennen wir den Grad von p, kurz gr(p). Den entsprechenden Koeffizienten c gr(p) nennen wir den Leitkoeffizienten von p. Oft verwenden wir anstelle von c 0 , c 1 , c 2 ,… auch andere Buchstaben. Beispiele: ƒ 'LH NRQVWDQWH )XQNWLRQ I PLW I [ F F ň LVW HLQH 3RO\QRPIXQNWLRQ PLW *UDG ƒ 'LH OLQHDUH )XQNWLRQ I PLW I [ N[ G N ň LVW HLQH 3RO\QRPIXQNWLRQ PLW *UDG ƒ Die quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 E[ F D ň LVW HLQH 3RO\QRPIXQNWLRQ PLW *UDG Polynom- funktion Grad Leitkoeffizient Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken z z – Eigentum des Verlags öbv