Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

12 Potenzen mit rationalen Exponenten Beim Rechnen mit Potenzen haben wir die Rechenregel „Für ganze Zahlen n, m und reelle Zahlen a ist a n ·a m = a n + m “ kennengelernt. Wie müssten wir zum Beispiel a 1 _ 2 definieren, damit a 1 _ 2 ·a 1 _ 2 = a 1 _ 2 + 1 _ 2 = a 1 = a ist? Dann ist das Quadrat der Zahl a 1 _ 2 gleich a, also muss a 1 _ 2 = 9 _ a sein. Das legt nahe, die folgende Schreibweise zu definieren: Für positive ganze Zahlen m, n ist: a m _ n = n 9 __ a m a ļ m _ n = 1 _ n 9 __ a m Wir können dann Wurzeln als Potenzen auffassen, deren Exponenten rationale Zahlen sind. Solche Potenzen nennen wir rationale Potenzen . Wir können damit die Rechenregeln für Potenzen und für Wurzeln einheitlich anschreiben: Für zwei positive reelle Zahlen a und b und rationale Zahlen s und t gilt: a s ·a t = a s + t Rationale Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. a s _ a t = a s – t Rationale Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. 2 a s 3 t = a s·t Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. 2 a·b 3 s = a s ·b s Die Potenz eines Produktes ist gleich dem Produkt der Potenzen. 2 a _ b 3 s = a s _ b s Die Potenz eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Potenzen. 40 Schreibe die Wurzel als Potenz. a. 9 _ 2 = b. 5 9 __ 4 3 = c. 4 9 _ 1 _ 2 3 = d. 7 9 __ a 2 = a. 9 _ 2 = 2 9 __ 2 1 = 2 1 _ 2 b. 5 9 __ 4 3 = 4 3 _ 5 c. 4 9 _ 1 _ 2 3 = 4 9 __ 2 ļ = 2 ļ 3 _ 4 d. 7 9 __ a 2 = a 2 _ 7 41 Schreibe die Wurzel als Potenz. a. 9 _ 3 = c. 3 9 __ 17 = e. 5 9 _ 8 = g. 4 9 __ 35 = b. 3 9 __ 2 2 = d. 3 9 __ 5 2 = f. 4 9 __ 7 3 = h. 6 9 __ 15 2 = 42 Wandle die Wurzel in eine Potenz um. a. 9 _ 1 _ 3 = b. 3 9 _ 1 _ 2 2 = c. 5 9 _ 1 _ 5 4 = d. 7 9 __ 1 _ 11 3 = 43 Drücke die Wurzel als Potenz aus. a. 9 _ a = b. 3 9 _ b = c. 4 9 __ c 2 = d. 5 9 __ d 3 = 44 Stelle die Wurzel als Potenz dar. a. 9 _ 1 _ a = b. 4 9 __ 1 _ b 3 = c. 5 9 _ 1 _ c 2 = d. 6 9 __ 1 _ d 5 = 45 Stelle die Potenz als Wurzel dar. a. 3 1 _ 2 = b. 5 2 _ 3 = c. 1 _ 7 2 _ 5 = d. x ļ 3 _ 7 = a. 3 1 _ 2 = 2 9 __ 3 1 = 9 _ 3 b. 5 2 _ 3 = 3 9 __ 5 2 c. 1 _ 7 2 _ 5 = 1 _ 5 9 __ 7 2 = 5 9 __ 1 _ 49 d. x ļ 3 _ 7 = 1 _ x 3 _ 7 = 7 9 _ 1 _ x 3 46 Stelle die Potenz als Wurzel dar. a. 2 1 _ 2 = b. 6 3 _ 5 = c. 17 2 _ 3 = d. 125 4 _ 5 = rationale Potenzen Rechenregeln für Potenzen Wurzeln als Potenzen schreiben A A : A , A : , B Potenzen in Wurzel- schreibweise darstellen A : Potenzen Nur zu 2 2 2 2 2 2 2 2 Prüfzwecken E E E E – Eigentum 4 4 4 4 des Verlags öbv