Mathematik anwenden HAK 2, Schulbuch

10 Höhere Wurzeln Wenn wir die Seitenlänge s Meter eines Würfels kennen, erhalten wir das Volumen des Würfels in Kubikmeter, indem wir s 3 berechnen. Wie bekommen wir die Zahl s, wenn wir umgekehrt das Volumen a in Kubikmeter kennen? Wir müssen dazu eine Zahl finden, deren dritte Potenz gleich a ist. Wenn a eine positive reelle Zahl ist, nennen wir eine positive reelle Zahl dritte Wurzel aus a oder Kubikwurzel , wenn ihre dritte Potenz gleich a ist. Allgemein nennen wir für eine positive ganze Zahl n und eine positive reelle Zahl a eine positive reelle Zahl b n-te Wurzel aus a, wenn a n = b ist. Man kann zeigen, dass es eine solche positive reelle Zahl immer gibt. Es gibt immer nur eine n-te Wurzel. Wir zeigen das am Beispiel n = 3. Wären x und y dritte Wurzeln aus a, dann wäre x 3 = a = y 3 , also 0 = x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2 ). Wenn ein Produkt von reellen Zahlen gleich 0 ist, muss einer der Faktoren gleich 0 sein. Da x und y positiv sind, ist x 2 + xy + y 2 nicht gleich 0, also muss x – y = 0 sein, das heißt x = y. Wir bezeichnen die (eindeutig bestimmte) n-te Wurzel aus a mit n 9 _ a . Dann ist 2 n 9 _ a 3 n = a . Die Rechenregeln, die wir für Quadratwurzeln kennengelernt haben, gelten auch für n-te Wurzeln: Für zwei positive reelle Zahlen a und b gilt: n 9 _ a· n 9 _ b = n 9 __ a·b Die n-te Wurzel eines Produktes ist das Produkt der n-ten Wurzeln. n 9 _ a _ n 9 _ b = n 9 _ a _ b Die n-te Wurzel eines Quotienten ist der Quotient der n-ten Wurzeln. Inbesondere gilt 1 _ n 9 _ b = n 9 _ 1 _ b , in anderer Schreibweise: 2 n 9 _ b 3 ļ = n 9 __ b ļ . Achtung Für positive Zahlen a und b ist wie bei Quadratwurzeln n 9 ___ a + b nicht dasselbe wie n 9 _ a + n 9 _ b. Für eine natürliche Zahl p = n·k + r (0 ª r < n) ist n 9 __ a p = n 9 ____ a n·k + r = n 9 ___ a n·k · n 9 __ a r = a k · n 9 __ a r . Beispiel: 3 9 __ 16 = 3 9 ___ 2 3 ·2 = 3 9 __ 2 3 · 3 9 _ 2 = 2· 3 9 _ 2 GeoGebra cbrt( < x > ) TI Nspire tÑ oder /l Tipp In Excel und GeoGebra gibt es (mit Ausnahme der Kubikwurzel in GeoGebra) keine direkte Mög- lichkeit, eine höhere Wurzel einzugeben. Man verwendet in diesem Fall für die Eingabe rationale Exponenten, die wir auf Seite 12 kennenlernen. s s s dritte Wurzel n-te Wurzel Rechenregeln für n-te Wurzeln teilweise wurzelziehen Kubikwurzel eingeben ggb/tns mg2s5h Potenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum a a a a 2 2 des Verlags . öbv