Mathematik anwenden HAK 1, Schulbuch

66 Lineare Gleichungen 2.2 Äquivalenzumformungen Ich lerne zu entscheiden, ob lineare Gleichungen mit einer Unbekannten äquivalent umgeformt wurden, und ich lerne meine Entscheidung zu begründen. Ich lerne lineare Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen. Ich lerne zu entscheiden, ob spezielle Gleichungen in lineare Gleichungen mit einer Unbekannten umgeformt werden können. Was ist eine „Äquivalenzumformung“? Tipp Zum Lösen von Gleichungen verwenden wir die folgende Vorgangsweise: Wenn wir eine Aufgabe nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösung wie die ursprüngliche Aufgabe hat. Dies wiederholen wir so lange, bis die Aufgabe so leicht geworden ist, dass wir sie „im Kopf“ lösen können. Wir nennen die Menge aller Lösungen einer Gleichung die Lösungsmenge dieser Gleichung. Zwei Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, nennen wir äquivalent . Den Übergang von einer Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung nennen wir erlaubte Umformung oder Äquiva- lenzumformung einer Gleichung. Neben dem Auflösen bzw. Ausmultiplizieren von Klammern und dem Zusammenfassen sind die folgenden Umformungen Äquivalenzumformungen. Die beiden Seiten einer Gleichung dürfen vertauscht werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 5 = 3z + 4. Zu beiden Seiten einer Gleichung darf dieselbe Zahl addiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 3z + 4 + 3 = 5 + 3, also 3z + 7 = 8. Wir schreiben kurz: 3z + 4 = 5 ! + 3 3z + 7 = 8 Von beiden Seiten einer Gleichung darf dieselbe Zahl subtrahiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 3z + 4 – 3 = 5 – 3, also 3z + 1 = 2. Wir schreiben kurz: 3z + 4 = 5 ! – 3 3z + 1 = 2 Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multipliziert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 3(3z + 4) = 3·5, also 9z + 12 = 15. Wir schreiben kurz: 3z +  4 = 5 ! ·3 9z + 12 = 15 Beide Seiten einer Gleichung dürfen durch dieselbe von 0 verschiedene Zahl dividiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch ​  3 _ 3 ​z + ​  4 _ 3  ​= ​  5 _ 3 ​ , also z + ​  4 _ 3 ​= ​  5 _ 3 ​ . Wir schreiben kurz: 3z + 4 = 5 ! : 3  z + ​  4 _ 3 ​= ​  5 _ 3 ​ GeoGebra ( <Gleichung> ) <Äquivalenzumformung> TI Nspire ( Gleichung ) Äquivalenzumformung Lösungsmenge äquivalent Äquivalenz- umformung Äquivalenz- umformungen von Gleichungen eine Äquivalenz- umformung durchführen  ggb 44r3jf Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv