Mathematik anwenden HAK 1, Schulbuch

38 Zahlen und Rechenregeln 283 Berechne. a. ​ 2  ​  x 2 ·y _ ​z​ 3 ​ ​  3 ​ 3 ​= b. ​ 2  ​  a 3 ·b _ ​c​ 2 ​ ​  3 ​ 2 ​= c. ​ 2  ​  s 2 ·t 2 _ ​u​ 3 ​ ​  3 ​ 4 ​= d. ​ 2  ​  x 3 ·​y​ 4 ​ _ ​z​ 2 ​ ​  3 ​ 4 ​= e. ​ 2  ​  a 2 ·b 2 _ ​c​ 3 ​ ​  3 ​ 3 ​= f. ​ 2  ​  ​s​ 4 ​·t 3 _ ​u​ 2 ​·v 3 ​  3 ​ 4 ​= 284 Berechne ​  ​ 2  ​  ​x​ 3 ​·y 2 _  ​z​ 2 ​ ​ 3 ​ 4 ​ _  ​ 2  ​  ​x​ 2 ​ _  ​y​ 4 ​·z ​  3 ​ 3 ​ ​ . ​  ​ 2  ​  ​x​ 3 ​·y 2 _ ​z​ 2 ​ ​  3 ​ 4 ​ _  ​ 2  ​  ​x​ 2 ​ _  ​y​ 4 ​·z ​  3 ​ 3 ​ ​= ​  ​  ​x​ 12 ​·​y​ 8 ​ _  ​z​ 8 ​ ​ _ ​  ​x​ 6 ​ _  ​y​ 12 ​·​z​ 3 ​ ​ ​= ​  ​x​ 12 ​·​y​ 8 ​ _ ​z​ 8 ​ ​: ​  ​x​ 6 ​ _  ​y​ 12 ​·​z​ 3 ​ ​= ​  ​x​ 12 ​·​y​ 8 ​ _ ​z​ 8 ​ ​·​  ​y​ 12 ​·​z​ 3 ​ _ ​x​ 6 ​ ​= ​  ​x​ 12 ​·​y​ 20 ​·​z​ 3 ​ __ ​x​ 6 ​·​z​ 8 ​ ​= ​  ​x​ 6 ​·​y​ 20 ​ _ ​z​ 5 ​ ​ 285 Berechne. a. ​  ​  x 2 ·y 2 _ z 3 ​ _  ​ 2  ​  y 2 _  x 3 ·z​ 4 ​ ​  3 ​ 2 ​ ​= b. ​  ​ 2  ​  a 3 ·​b​ 4 ​ _ c 2 ​  3 ​ 5 ​ _ ​ 2  ​  a 3 _  b 2 ·​c​ 4 ​ ​  3 ​ 2 ​ ​= c. ​  ​ 2  ​  ​r​ 4 ​ _  s 2 ·t 3 ​  3 ​ 3 ​ _ ​ 2 ​  s 2 ·t​ 4 ​ _ r  ​  3 ​ 2 ​ ​= d. ​  ​ 2  ​  ​x​ 4 ​·​y​ 2 ​ _  x·​z​ 3 ​ ​  3 ​ 5 ​ _ ​ 2  ​  ​z​ 5 ​ _  ​x​ 4 ​·​y​ 3 ​ ​  3 ​ 3 ​ ​= e. ​  ​ 2  ​  a 2 ·b 3 ·c _ ​c​ 4 ​ ​  3 ​ 3 ​ __ ​ 2  ​  a 2 ·b 3 _ ​b​ 5 ​·c 2 ​  3 ​ 2 ​ ​= f. ​  ​ 2  ​  ​r​ 4 ​·​t​ 3 ​ _ s 2 ·t 2 ​  3 ​ 3 ​ _ ​ 2  ​  ​s​ 5 ​·​t​ 2 ​ _ r·s 3 ​  3 ​ 5 ​ ​= Binomische Formeln Die folgenden Rechenregeln für Potenzen heißen binomische Formeln . Man kann sie leicht durch Ausmultiplizieren herleiten. Für beliebige reelle Zahlen a und b gilt: (a + b​)​ 2 ​= ​a​ 2 ​+ 2ab + ​b​ 2 ​ (a – b​)​ 2 ​= ​a​ 2 ​– 2ab + ​b​ 2 ​ (a + b)(a – b) = ​a​ 2 ​– ​b​ 2 ​ Diese drei binomischen Formeln können auch geometrisch interpretiert werden, falls die Zahlen a und b positiv sind. (a + b​)​ 2 ​= ​a​ 2 ​+ 2ab + ​b​ 2 ​ Wird (a + b) als Länge einer Strecke aufgefasst, so entspricht (a + b) 2 der Fläche eines Quad- rats mit Seitenlänge (a + b). Auf ähnliche Weise können auch die anderen beiden Formeln geometrisch interpretiert werden, wir geben dazu die folgenden zwei Bilder an. (a – b​)​ 2 ​= ​a​ 2 ​– 2ab + ​b​ 2 ​ (a + b)(a – b) = ​a​ 2 ​– ​b​ 2 ​ Beachte: Die binomischen Formeln können in beide Richtungen gelesen werden. „Ausmultiplizieren“ der Klammerausdrücke verwandelt ein Produkt in Summen bzw. Differenzen. (a + b) 2 ¥ = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 ¥ = a 2 – 2ab + b 2 (a – b)(a + b) ¥ = a 2 – b 2 Mit den binomischen Formeln können manche Summen bzw. Differenzen in ein Produkt verwandelt werden, auch wenn Herausheben nicht möglich ist. a 2 + 2ab + b 2 ¥ = (a + b) 2 a 2 – 2ab + b 2 ¥ = (a – b) 2 a 2 – b 2 ¥ = (a – b)(a + b) Für beliebige reelle Zahlen a und b gilt: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2  b + 3ab 2 + b 3 (a – b) 3 = a 3 – 3a 2  b + 3ab 2 – b 3 B , Potenz einer Bruchzahl berechnen B B ;  ggb/tns vs22sh binomische Formeln a 2 Fläche = = (a + b) 2 b 2 a ∙ b a ∙ b a a b a b b b a a ∙ b – b 2 a ∙ b a a b b 2 (a – b) (a – b) Fläche = = ( a – b ) 2 = = a 2 – a ∙ b – – ( a ∙ b – b 2 ) a b a (a – b) (a + b) Fläche = = (a – b) ∙ (a + b) = = a 2 – b 2 b 2 binomische Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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