Mathematik anwenden HAK 1, Schulbuch

168 Anhang auf 2, wächst die Fläche um 3, verlängert man die Seitenlänge von 2 auf 3, dann wächst die Fläche aber um 5. Daher ist die Ände- rungsrate für 2 und für 3 nicht gleich, also kann der Zusammen- hang nicht durch eine lineare Funktion beschrieben werden. C Der Zusammenhang wird durch die konstante Funktion, die jeder Gesprächsdauer dieselben Gesamtkosten zuordnet, beschrie- ben. Konstante Funktionen sind linear. D Für die ersten 1000 Gesprächsminuten ist die Änderungsrate 0, ab der 1001. Minute aber ist die Änderungsrate gleich 0,05€. E Jede Stunde wird derselbe Anteil abgebaut. Die Änderungsrate ist konstant 0,1‰. 831. 3,21GB [Mit G bezeichnen wir die Anzahl der Gigabyte, also muss Felix ins- gesamt 4,70·G + 4,90€ bezahlen. Wenn er 20€ ausgeben will, muss 4,70·G + 4,90 = 20 sein. Daraus folgt G = 3,21.] 832. Gebühr für Schläger und Bälle: 2,50€; Kosten für 50min: 7,50€ [Andi zahlt 1€ für 10min Benützung des Platzes, also 3€ für 30min. Insgesamt zahlt er 5,50€. Die Differenz von 2,50€ ist also die Gebühr für die Schläger und die Bälle. Für 50min bezahlt Andi 5·1 + 2,50 = 7,50€.] 833. A und D Begründung: A : Wenn man doppelt so viel, dreimal soviel, c-mal so viel zahlt, wenn der der Kurs doppelt so lange, dreimal so lange, c-mal so lan- ge dauert, dann sind die Kurskosten und seine Dauer zueinander direkt proportional. B : Wenn man doppelt so viele Pumpen einsetzt, dann halbiert sich die Zeit für das Auspumpen (verdoppelt sich also nicht), daher sind die Zeit für das Auspumpen und die Anzahl der verwendeten Pum- pen nicht direkt proportional zueinander. C : Wenn man doppelt so viele Räumfahrzeuge einsetzt, dann hal- biert sich die Zeit für das Reinigen (verdoppelt sich also nicht), daher sind die Zeit für das Reinigen und die Anzahl der eingesetz- ten Räumfahrzeuge nicht direkt proportional zueinander. D : Wenn c-mal so viele T-Shirts produziert werden, wenn der Arbeitstag c-mal so lange dauert, dann sind die Dauer des Arbeits- tages und Anzahl der produzierten Shirts zueinander proportional. Wenn der Arbeitstag zu lange dauert, werden aber die Arbeiterin- nen und Arbeiter müde und produzieren weniger T-Shirts. Also sind Dauer und Anzahl der Shirts nur für „kleine Verlängerungen der Dauer“ zueinander direkt proportional. 834. a. g: ​ R ​ 0 ​  + ​ ¥ R , a ¦ ​ {  ​  3500 für a ª 70        3500 + 55·(a – 70) für a > 70 ​ ​ b. 5150€ [g(100) = 3500 + 55·(100 – 70) = 5150] c. 115 Gäste [6000 > 3500, also muss 6000 = 3500 + 55·(a – 70) sein  w  a ≈ 115,45] 3.3 Lineare Funktionen in der Wirtschaft 859. a. Proportionale Kosten: 42€/Stück; monatliche Fixkosten: 7300€ b. K(800) = 40900. Das bedeutet, dass eine monatliche Produktion von 800 Stück 40900€ kostet. c. Fixkosten: 7300€; variable Kosten: 210000€ [42·5000 = 210000]; Gesamtkosten: 217300€ [K(5000) = 42·5000 + 7300 = 217300]; Stückkosten: 43,46€/Stück [217300/5000 = 43,46] 860. a. K mit K(x) = 2,9x + 324 b. 171 Menüs [4,80x = 2,9x + 324  w  x ≈ 170,5] c. 434 Menüs [G(x) = 4,8x – (2,9x + 324) = 0,9x – 324. Die Lösung der Gleichung 0,9x + 324 = 500 ist x ≈ 915,56] d. Der Gewinn würde von 740€ auf 366€ sinken. [aktuell: Erlös: E(560) = 4,8·560 = 2688€; Kosten: K(560) = 2,9·560 + 324 = 1948€, also beträgt der Gewinn 2688 – 1948 = 740€. bei Preissenkung: Erlös E(700) = 4·700 = 2800€; Kosten K(700) = 2,9·700 + (324 + 80) = 2434€, also beträgt der Gewinn 2800 – 2434 = 366€.] 861. a. 4725€ ​ 4   ​  37800 _ 8  ​= 4725  5 ​  b. R(x) = ‒4725x + 37800 c. 14175. Der Buchwert (Restwert) der Maschine nach 5 Jahren beträgt 14175€ [R(5) = ‒4725·5 + 37800 = 14175] 862. 570€ ​ 4   ​  4260 _ 3  ​= 1420, R(x) = ‒1420x + 4260, R(2) = 1420, 1990€ – 1420€ = 570€  5 ​ 3.4 Umkehrfunktionen 874. B  , C A ist nicht umkehrbar, da auf einigen Geraden parallel zur ersten Achse zwei Punkte des Graphen liegen. B ist umkehrbar, weil auf jeder Geraden parallel zur ersten Achse nur ein einziger Punkt des Graphen liegt. C ist umkehrbar, wenn der Wertebereich der Funktion die Menge aller positiven reellen Zahlen ist, weil auf jeder Geraden durch einen Punkt (0 1 d) mit d > 0 parallel zur ersten Koordinatenachse genau ein Punkt des Graphen liegt. D ist nicht umkehrbar, da auf einigen Geraden parallel zur ersten Achse zwei Punkte des Graphen liegen. 875. f ‒1  (x) = ​  3 _ 5 ​x + ​  12 _ 5  ​​ 4   Steigung: ​  1 _ k ​= ​  3 _ 5 ​ , Achsenabschnitt: ‒​  d _ k ​= + ​  12 _ 5  ​  5 ​ f ‒1  (f(x)) = f ‒1  ​ 2  ​  5 _ 3 ​x – 4  3 ​= ​  3 _ 5 ​ ​ 2  ​  5 _ 3 ​x – 4  3 ​+ ​  12 _  5  ​= 1x – ​  12 _  5  ​+ ​  12 _  5  ​= x 876. a. b. 877. a. 23€ sind Fixkosten, pro gefahrenen Kilometer sind zusätzlich 0,2€ zu zahlen. b. T  ‒1  (a) = 5a – 115; Definitionsbereich: [23; • ) ​ 4  Steigung: ​  1 _  k ​= ​  1 _  0,2  ​= 5, Achsenabschnitt: ‒​  d _  k ​= ‒​  23 _ 0,2 ​= ‒115. Für den Definitionsbereich ist zu bedenken, dass ursprünglich mindestens 23€ für die Fahrt zu bezahlen waren, daher ist der Definitionsbereich der Umkehr- funktion die Menge aller reellen Zahlen a mit a ≥ 23.  5 ​ c. T  ‒1  (50) = 135. Das bedeutet, dass man mit dem Leihwagen um 50€ insgesamt 135km fahren kann. x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv