Mathematik anwenden HAK 1, Schulbuch

133 3.4 Umkehrfunktionen 3.4 Umkehrfunktionen Ich lerne anhand eines Funktionsgraphen zu entscheiden, ob die zugehörige Funktion umkehrbar ist. Ich lerne die Umkehrfunktion einer linearen Funktion rechnerisch und graphisch zu bestimmen. Ich lerne Umkehrfunktionen in Anwendungsaufgaben zu interpretieren. Die Schüler Tobias, Jonas, Felix, Martin und Simon machen einen Wettlauf. Der Turnlehrer schreibt in eine Tabelle, wer als Erster, Zweiter, …, Fünfter über die Ziellinie gelaufen ist. Durch diese Tabelle wird die Funktion P von der Menge der Schüler {Tobias, Jonas, Felix, Martin, Simon} in die Menge der Zahlen {1, 2, 3, 4, 5} dargestellt, die jedem Schüler seine Platzierung zuordnet. Um die Fragen „Wer war Dritter?“, „Wer war Fünfter?“ … rasch beantworten zu können, schreiben wir die folgende Tabelle an: Durch diese Tabelle wird die Funktion von der Menge der Zahlen {1, 2, 3, 4, 5} in die Menge der Schüler {Tobias, Jonas, Felix, Martin, Simon} dargestellt, die jeder Platzierung den Schüler, der sie im Wettrennen erreicht hat, zuordnet. Wir könnten diese neue Funktion auch angeben, indem wir sagen, dass die erste Tabelle von rechts nach links anstatt von links nach rechts gelesen werden soll. Bezeichnen wir die erste Funktion, die jedem Schüler seine Platzierung zuordnet, mit P, dann bezeichnen wir die zweite Funktion, die jeder Platzierung den Schüler, der sie erreicht hat, zuordnet, mit P ‒1 und nennen sie die Umkehrfunktion von P . Was wäre gewesen, wenn Felix und Martin gleich schnell gelaufen wären? Dann wären sie beide auf dem dritten Platz gelandet. Dann hätten wir keine Umkehrfunktion von P erhalten, weil wir dafür der Zahl 3 sowohl Felix als auch Martin zuordnen müssten. Eine Funktion muss aber jedem Element des Definitionsbereichs genau eine (und nicht zwei!) Elemente des Werte­ bereichs zuordnen. Eine Funktion f: D ¥ W mit Definitionsbereich D und Wertebereich W heißt umkehrbar , wenn jedes Element im Wertebereich W der Funktionswert von genau einem Element aus D ist. Zu jedem Element w * W gibt es dann genau ein Element x * D so, dass w = f(x) ist. Wenn f umkehrbar ist, dann nennen wir die Funktion f ‒1 : W ¥ D, die jedem Element w * W das eindeutig bestimmte Element f ‒1  (w) = x mit w = f(x) zuordnet, die Umkehrfunktion von f. Es ist also f ‒1  (f(x)) = x und f(f ‒1  (w)) = w. Der Graph von f ist die Menge {(x 1 f(x))  ‡ x * D} und der Graph ihrer Umkehrfunktion f ‒1 ist {(w 1 f ‒1  (w))  ‡ w * W} = {(f(x) 1 x)  ‡ x * D}. Wir erhalten den Graphen von f ‒1 ganz einfach aus dem Graphen von f, indem wir die Kompo- nenten der Paare vertauschen. Tipp Aus dem Graphen einer Funktion f: R ¥ R können wir ablesen, ob die Funktion umkehrbar ist oder nicht: Sie ist genau dann umkehrbar, wenn auf jeder Geraden, die parallel zur ersten Koordi- natenachse ist, genau ein Punkt des Graphen liegt. Liegen nämlich zwei Punkte (z 1 1 f(z 1 )) und (z 2 1 f(z 2 )) auf einer solchen Geraden, dann muss f(z 1 ) = f(z 2 ) sein und die Funktionswerte der zwei verschiedenen Zahlen z 1 und z 2 sind gleich. Daher kann in diesem Fall f nicht umkehrbar sein. Name Platzierung Tobias 5 Jonas 1 Felix 4 Martin 3 Simon 2 Platzierung Name 1 Jonas 2 Simon 3 Martin 4 Felix 5 Tobias umkehrbar Umkehr- funktion Graph der Umkehrfunktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv