Mathematik anwenden HAK 1, Schulbuch

126 Funktionen 3.3 Lineare Funktionen in der Wirtschaft Ich lerne Kostenfunktionen, Erlös- bzw. Umsatzfunktionen, Gewinnfunktionen, Fixkosten, variable Kosten und den Break-Even-Point kennen und damit zu rechnen. Ich lerne die lineare Abschreibung kennen und damit Anschaffungswert, Nutzungsdauer oder Buchwert zu berechnen. Lineare Kostenfunktionen Herr Hallas hat sich auf die Produktion hochwertiger Radios im Retro-Stil spezialisiert. Gemeinsam mit seinem Mitarbeiter, dem er monatlich 1 200€ bezahlt, produziert er 50 Radios im Monat. Die Materialkosten für ein Radio betragen 48€. Da Herr Hallas die Radios zu Hause herstellt, fallen keine weiteren Kosten an. Die monatlichen Kosten betragen also 50·48€ + 1 200€ = 3600€. Dabei bezeichnet man die 1 200€ als Fixkosten und die 50·48 = 2400€ als variable Kosten . Kann Herr Hallas alle Radios um je 180€ verkaufen, so beträgt sein Erlös 50·180€ = 9000€, es bleibt ihm also ein Gewinn von 9000€ – 3600€ = 5400€. Produziert er x Radios, so betragen die Kosten dafür K(x) = 48·x + 1 200€, der Erlös E(x) = 180·x € und der Gewinn G(x) = 180·x – (48·x + 1200) = 132 x – 1 200€. Die Kostenfunktion für die Erzeugung eines Produktes ordnet der Anzahl der produzierten Einheiten die Gesamtkosten für diese Produktion zu. Oft ist diese Funktion linear. Bei der Erzeugung eines bestimmten Produkts fallen Fixkosten (z.B. Monatsgehälter, Abschreibung von Maschinen …) und variable Kosten , also Kosten, die von Anzahl der produzierten Einheiten abhängig sind (Material, Energieverbrauch …), an. Die Gesamtkosten K(x) für die Erzeugung von x Einheiten des Produkts sind dann die Summe der Fixkosten F und der variablen Kosten k·x K(x) = k·x + F. Dabei bezeichnet k die variablen Kosten für die Produktion einer Einheit. Diese werden proportionale Kosten genannt. Die Änderungsrate k einer linearen Kostenfunktion K mit K(x) = k·x + F gibt also die variablen Kosten für die Produktion einer Einheit an, ihr Ordinatenabschnitt F die Fixkosten. Verkauft ein Betrieb eine Einheit seiner Ware zum Preis p, so ist der beim Verkauf von x Einheiten erzielte Erlös E(x) = p·x („Erlös ist Preis mal Menge“). Unter dem Gewinn bei x Einheiten versteht man den Erlös abzüglich der Kosten: G(x) = E(x) – K(x) („Gewinn ist Erlös minus Kosten“). Der Break-Even-Point ist die Anzahl der Einheiten einer Ware, bei der der Erlös und die Kosten gleich sind. Ab dieser Menge deckt der Erlös die Kosten. Ist x der Break-Even-Point, dann gilt: E(x) = K(x)  bzw.  E(x) – K(x) = 0  bzw.  G(x) = 0 . Kostenfunktion Fixkosten variable Kosten Gesamtkosten proportionale Kosten Erlös Gewinn Break-Even- Point Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv