Mathematik anwenden HAK 1, Schulbuch

107 3.2 Lineare Funktionen Eine homogene lineare Funktion R ¥ R , f(x) = k·x hat die folgenden Eigenschaften: f(0) = 0 f ist durch die Zahl k eindeutig bestimmt. Sind c und x reelle Zahlen, dann ist f(c·x) = c·f(x) . Der Funktionswert eines Vielfachen ist das Vielfache des Funktionswerts. Sind a und b reelle Zahlen, dann ist f(a + b) = f(a) + f(b) . Der Funktionswert einer Summe ist die Summe der Funktionswerte. Alle diese Eigenschaften können wir leicht nachrechnen. Zum Beispiel ist f(c·x) = k·(c·x) = c·k·x = c·f(x). Der Graph von f ist die Menge {(x 1 k·x) ‡ t * R }. (0 1 0) ist immer ein Element davon. Zum Zeichnen des Graphen einer homogenen linearen Funktion genügt es, die Gerade durch (0 1 0) und einen ande- ren Punkt des Graphen – zum Beispiel (1 1 k) – zu zeichnen. Drei besondere Beispiele für homogen lineare Funktionen sind die folgenden: R ¥ R , x ¦ 0 ist die Funktion, die jeder Zahl x die Zahl 0 zuordnet. Wir nennen diese Funktion die Nullfunktion . Der Graph dieser Funktion ist die erste Koordinatenachse. R ¥ R , x ¦ x ist die Funktion, die jeder Zahl x wieder sich selbst zuordnet. Der Graph dieser Funktion ist die Gerade durch die Punkte ( 0 1 0) und (1 1 1). Er wird auch 1. Mediane genannt. R ¥ R , x ¦ ‒ x ist die Funktion, die jeder Zahl x die Zahl ‒ x zuordnet. Der Graph dieser Funktion ist die Gerade durch die Punkte (0 1 0) und (1 1 ‒1). Er wird auch 2. Mediane genannt. Wenn wir den Zusammenhang von zwei Eigenschaften (wie oben zwischen Anzahl der Musik titel und Preis) durch eine homogene lineare Funktion, die nicht die Nullfunktion ist, beschreiben, dann sagen wir, dass die beiden Eigenschaften zueinander direkt proportional sind. Man sagt dann auch, dass wir für die Beschreibung dieses Zusammenhangs ein homogen-lineares Modell gewählt haben. 735 Eine homogene lineare Funktion f hat die Änderungsrate   3 _ 4 . a. Berechne f(4). b. Zeichne den Funktionsgraphen. a. Es ist f(4) =   3 _ 4 ·4 = 3. b. Der Funktionsgraph ist die Gerade durch die Punkte (0 1 0) und zum Beispiel (4 1 3). Wir zeichnen diese Punkte in ein Koordinatensystem und die Gerade durch diese Punkte. Eigenschaften homoger linearer Funktionen x y 0 1 1 (0 1 0) (1 1 k) Graph einer homogenen linearen Funktion 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 1. Mediane 2. Mediane 1. Koordinatenachse direkt proportional homogen- lineares Modell den Funktions- graphen einer homogenen linearen Funktion zeichnen B ggb/xls/tns i8p2py x y 0 - 2 -1 1 2 4 5 3 - 2 -1 1 2 3 4 (0 1 0) (4 1 3) Nur zu Prü zwecken – Eigentum d s Verlags öbv