Mathematik anwenden HAK 1, Schulbuch

104 Funktionen 726 In einem Supermarkt werden Erdäpfel zu einem Preis von 0,90€/kg angeboten. a. Erstelle eine Tabelle, die den Preis für 1, 2, 3, … , 10 kg Erdäpfel darstellt. b. Beschreibe den Zusammenhang zwischen Gewicht und Preis durch eine Funktion. Gib dazu den Werte- bereich, den Definitionsbereich und die Zuord- nungsvorschrift an. c. Erstelle ein Diagramm, das den Kaufpreis für Ein- käufe bis 15 kg darstellt, wenn die Erdäpfel lose verkauft werden. d. Erstelle ein Diagramm, wenn die Erdäpfel ausschließlich in 5-kg-Säcken verkauft werden. 727 Ermittelt mithilfe einer Internetsuche die mittleren Tagestemperaturen in einer Bundeshaupt- stadt eurer Wahl im vergangenen Monat. (Tipp: Die Zentralanstalt für Meteorologie und Geo dynamik stellt zum Beispiel diese Daten zur Verfügung.) a. Überlegt, welchen Definitionsbereich und welchen Wertebereich die Funktion hat, die den Tagen die mittleren Tagestemperaturen zuordnet. b. Zeichnet ein Diagramm für die letzte ganze Woche (Montag bis Sonntag) mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. c. Vergleicht nun den erstellten Graphen mit denen der anderen Gruppen, ohne dabei die gewählte Bundeshauptstadt zu erwähnen. Wer hat die gleiche Bundeshauptstadt gewählt? Beurteilt, wer den übersichtlichsten Graphen erstellt hat. Wann sind zwei Funktionen gleich? Wir betrachten nun die Funktionen a: R ¥ R , r ¦ r 2 + 2r + 1 b: R ¥ R , t ¦ (t + 1) 2 c: R ¥ R 0   + , s ¦ (s + 1) 2 . Die drei Funktionen ordnen jeder reellen Zahl z dieselbe Zahl zu, weil für jede reelle Zahl z die Zahlen b(z) = c(z) = (z + 1) 2 und a(z) = z 2 + 2z + 1 gleich sind. Die Wertebereiche von b und c sind verschieden, allerdings hat das für die Zuordnungsvorschrift keine Bedeutung, weil alle Funktionswerte von b in R 0   + enthalten sind. Dieser kleine Unterschied erscheint uns nicht als bedeutsam, wir werden davon absehen. Wir vereinbaren: Zwei Funktionen f und g sind genau dann gleich , wenn ihre Definitionsbereiche gleich sind und für alle Elemente z des Definitionsbereichs f(z) = g(z) ist. Wenn zwei Funktionen f und g gleich sind, dann sind für jedes Element z des Definitionsbereichs (von f und von g) auch die Paare (z 1 f(z)) und (z 1 g(z)) gleich. Daher sind auch die Graphen von f und g gleich. Also: Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn ihre Graphen gleich sind. 728 Überprüfe, welche der Funktionen gleich sind. f: R ¥ R , z ¦ z 2 – 2z + 2 h: R ¥ R 0   + , z ¦ (z + 1) 2 + 1 q: R ¥ R , z ¦ (z + 1) 2 + z g: R 0   + ¥ R , z ¦ (z + 1) 2 + 1 p: R 0   + ¥ R , z ¦ z 2 + 3z + 1 r: R ¥ R , z ¦ z 2 + 3z + 1 729 Fünf der angegebenen Funktionen sind gleich. Eine passt nicht dazu. Welche? Begründe. a. f: R ¥ R , x ¦ (x – 3) 2 + 4 b. f: R ¥ R 0   + , z ¦ ( z – 1) 2 c. f: R ¥ R , f(x) = 2·(x – 3) 2 g: R ¥ R 0   + , x ¦ (x – 3) 2 + 4 g: R ¥ R , g(z) = (z – 1)(z + 1) g: R ¥ R 0   + , q(x) = 2·(x – 3) 2 h: R ¥ R 0   + , z ¦ z 2 – 6 z + 13 h: R ¥ R , x ¦ x 2 – 1 h: R ¥ R , z ¦ ( 2z – 6) 2 i: R 0   + ¥ R , t ¦ (t – 3) 2 + 4 i: R ¥ R , i(s) = ‒ (1 – s 2 ) i: R ¥ R 0   + , z ¦ 2· ( 3 – z) 2 j: R ¥ R , j(x) = (x – 3) 2 + 4 j: R ¥ R , t ¦ (t – 1) 2 + 2t j: R ¥ R , j(s) = 2s 2 – 12s + 18 k: R ¥ R , k(x) = x(x – 6) + 13 k: R ¥ R , s ¦ s·s – 1·1 k: R ¥ R , q ¦ (2q – 6) (q – 3) A , A, C, D , Gleichheit von Funktionen D , D ; Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv