100 % Mathematik 4, Arbeitsheft

10 6 Gleichungen Richtig, zB: weil nur Funktionsgleichungen, bei denen die Variable x einen Exponenten gleich 1 oder 0 hat, eine lineare Funktion darstellen. Falsch, weil auch Kurven (zB: quadratische, exponentielle Funktionen, …) durch den Ursprung verlaufen. 228 a) Vergleiche mit der Zeichnung von Aufg. 218! ZB: x-Achse: 1min ⩠ 9mm, y-Achse: 100kg ⩠ 1mm b) Der Schnittpunkt (bei 9min 20s und 3200kg) markiert die gleiche Menge Pellets im Tank bzw. im LKW; dies ist in der Praxis bedeutungslos. c) Tank: y = 400 + 300x, LKW: y = 6000 – 300x; x = 9   1 _ 3 , y = 3200; L = {  (  9   1 _ 3 |3200  )   } 229 a) y = –   x _ 3 +   2 _ 3 b) y = 3x – 1 KAPITEL 6 230 a) Vergleiche mit der Zeichnung von Aufg. 495 b) im Schulbuch! a =   u _ 4 b) a = 63m 231 a) Vergleiche mit der Zeichnung von Aufg. 155 c)! a =   u – c _ 2  b) a = 41cm 232 a) a =   k _ 4 – s; a = 9mm b) a =   k – 6h _ 12  ; a = 9m c) h =   k – 8a _ 4  ; h = 18,5m 233 a) h b =   A _ b ; h b = 15,5cm b) f =   2A _ e  ; f = 15m c) c =   2A _ h  – a; c = 58mm 234 a) und b) quadratische Pyramide: h =   3V _ a 2 , Prisma (Quader) mit quadratischer Grundfläche: h =   V _  a 2 , rechteckige Pyramide: h =   3V _ ab  , Würfel: a = √ __   O _ 6 235 a) h =   V _ ab  , h = 9 dm b) h =   O – 2ab _ 2(a + b)  , h = 9 dm ZB: Da es sich um den gleichen Behälter handelt, müssen alle Seitenkanten gleich lang sein. 236 b =   3V _ ah  , b = 25cm 237 Pyramide mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche. a =   20 – (bh b + ch c )  __ b + h a   , b =   20 – (ah a + ch c )  __ a + h b   , c =   20 – (ab + ah a + bh b )   __ h c ,  h a =   20 – (ab + bh b + ch c )   __ a  , h b =   20 – (ab + ah a + ch c )   __ b  , h c =   20 – (ab + ah a + bh b )   __ c  , 238 a) Gleichung: x + 12 = 27, Wert: x = 15 b) Gleichung: 3x – 9 = 30, Wert: x = 13 c) Gleichung:   x _ 4 = 25, Wert: x = 100 239 a) a = 1   1 _ 2 , L = {  1  1 _ 2 } b) x = 1, L = {1} c) y = –   1 _ 2 , L = {  –   1 _ 2 } 240 a) Gleichung zB: 45 + x = (12 + x) ∙ 2; x = 21; … in 21 Jahren b) Gleichung zB:   x + 7 _ 5  = (x – 7) ∙ 3; x = 8; Die gesuchte Zahl ist 8. c) zu a): G = ℕ , zu b): G = ℝ 241 a) x =   4 _ 5 ; G = ℕ : L = {}, G = ℤ : L = {}, G = ℝ : L = {    4 _ 5 } b) x = 4; G = ℕ : L = {4}, G = ℤ : L = {4}, G = ℝ : L = {4} c) x = 0; G = ℕ : L = {0}, G = ℤ : L = {0}, G = ℝ : L = {0} 242 Gleichung zB:   x _ 2 +   x _ 4 +   x _ 8 + 7 = x; x = 56; … 56kg 243 ZB: Wie viele € erhält jede Schwester vom Gewinn? Gleichung zB:   x _ 2 + x +   3x _ 2  = 9000; x = 3000; Anna: 1500€, Jenny: 3000€, Tanja: 4500€ 244 a) Gleichung zB:   3x _ 2  + x +   3x _ 4  = 39; x = 12; Tamara: 18€, Tom: 12€, Tina: 9€ b) Tamara: 12 Jahre, Tom: 8 Jahre, Tina: 6 Jahre 245 a) D = ℝ \ {–3, 3}, s = 2, L = {2} b) D = ℝ \ {–1, 1}, t = 1, L = {0}, zB: weil der Wert 1 ein Element der Definitionsmenge ist. Alle Elemente der Definitions- menge sind keine Lösung der Gleichung, da eine Division durch die Zahl 0 nicht durchführbar ist. 246 a) t (h)   1 _ 2   3 _ 4 1 1   1 _ 2 1   3 _ 4 3 s (km) 6 9 12 18 21 36 b) Weg = Geschwindigkeit ∙ Zeit; s = v ∙ t c) Vergleiche mit den Zeichnungen von Aufg. 224! ZB: x-Achse: 1 h ⩠ 2cm, y-Achse: 6km ⩠ 1cm d) … nach 2   1 _ 2 h; Gleichung zB 30 = 12 ∙ t, t = 2   1 _ 2 247 Gleichung zB: 5x + 5 ∙ 3   1 _ 2 = 40x; x =   1 _ 2 ; … um 12:30 Uhr, 20km vom Jugendgästehaus entfernt. 248 Gleichung zB: 20x + 25x – 25 ∙   1 _ 5 = 20; x =   5 _ 9 a) … um 08:33:20 Uhr b) Sara: 11   1 _ 9 km, Lena: 8   8 _ 9 km 249 a) Gleichung zB: 7x +   x _ 7 = 100, x = 14; Die gesuchte Zahl ist 14. b) Gleichung zB: 10 ∙ (x + 5) = 5 ∙ (x – 5), x = –15; Die gesuchte Zahl ist –15. 250 a = 8m, b = 4m 251 ZB: Wie breit ist das ursprüngliche Rechteck? Gleichung zB: 70 ∙ (x + 5) = 70 ∙ x ∙ 1,1; x = 50; b = 50m 252 Gleichung zB: 85x + 125x – 125 = 190; x = 1,5 a) … um 11:30 b) Entfernung von Wien: 127,5km; Entfernung von Graz: 62,5km c) ZB: gleich bleibende Straßen- undWetterverhältnisse, gute Sicht, keine Staubildung, Fitness der Fahrzeuglenke- rin bzw. des Fahrzeuglenkers, guter technischer Zustand der Fahrzeuge, ständiges Einhalten der Durchschnittsge- schwindigkeit, keine Pausen usw. 253 a) Figur 1: allgemeines, stumpfwinkliges Dreieck, Figur 2: Rechteck, Figur 3: Deltoid b) Figur 1: x + 18 + 24 = 48, x = 6cm; Figur 2: (16 + x) ∙ 2 = 48, x = 8cm; Figur 3: (18 + x) ∙ 2 = 48, x = 6cm 254 a) a = 22,5; L = {22,5} b) b = –1   1 _ 3 ; L = {  –1   1 _ 3 } c) x = 150   2 _ 3 ; L = {  150   2 _ 3 } 255 a) Gleichung zB: 3x + 9 = 45, x = 12; Der Wert der Variable beträgt 12. b) Gleichung zB: x ∙ 5 – 10 = 55, x = 13; Der Wert der Variable beträgt 13. 256 ZB: Wie alt sind Annas Familienmitglieder? Gleichung zB: 2x + x + x – 6 = 146; x = 38; … Annas Oma: 76 Jahre, Annas Mutter: 38 Jahre, Annas Vater: 32 Jahre 257 Gleichung zB: 5x + 12 = 8 ∙ (x – 2), x = 9   1 _ 3 ; G = ℕ : L = {} ZB: Es gibt keine natürliche Zahl, die diese Bedingungen erfüllt. 258 ZB: Wie groß ist die Seitenlänge a des ursprünglichen Rhombus? Gleichung zB:   (x + 6) ∙ x  _ 2  =   (x + 6 – 4) ∙ (x +3)   __ 2  + 8, x = 22; ursprüng licher Rhombus: e = 28cm, f = 22cm; a = 17,8cm (17,804…) 259 Gleichung zB: 14x = 21x – 21 ∙   1 _ 12  , x =   1 _ 4 ; Tom benötigt für seinen 3,5km langen Schulweg jeden Tag eine Viertelstunde; heute war er jedoch nur 10 Minuten lang unterwegs. 260 Gleichung zB:   3 _ 4 x =   6 _ 5 x –   6 _ 5 ∙ 7, x = 18   2 _ 3 ; … 28km 261 ZB: Wann und in welcher Entfernung vom Firmenstandort holt der Chef seinen Mitarbeiter ein? Gleichung zB: 60x = 90x – 90 ∙   3 _ 4 , x = 2   1 _ 4 ; … um 07:15 Uhr, 135km vom Firmenstandort entfernt. K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv