100 % Mathematik 4, Arbeitsheft

6 4 Messen und berechnen I 128   5x 2 + 3x _ t  ;   x __  2a 2 + 4ab + 2b 2 ;   a 2 – b 2  _ 2b  129 ZB: a) Die Zahl 36 wird durch das Dreifache einer Zahl dividiert. b) Die Zahl 12 wird durch eine, um 1 vermehrte Zahl, dividiert. c) Die Zahl 48 wird durch eine, um 3 verminderte, Zahl dividiert. 130 a) Ergebnisse: 12; 1   1 _ 5 ; –12; –   3 _ 25  ; D = ℝ \{0} b) Ergebnisse: –12; 4; 6;   1 _ 2 ; D = ℝ \{–1} c) Ergebnisse: –24; –8; 1   1 _ 15  ; –3   9 _ 13  ; D = ℝ \{3} d) Ergebnisse:   1 _ 2 ;   3 _ 14  ; –1   1 _ 2 ; –   1 _ 66  ; D = ℝ \{–1} 131 a) D = ℝ \{–1, 1}; x + 1 ≠ 0, x – 1 ≠ 0 b) D = ℝ \{–2, 2}; a + 2 ≠ 0, a – 2 ≠ 0 c) D = ℝ \ {  x = 0, y = –   1 _ 2 , y =   1 _ 2 } ; 3x ≠ 0, 2y + 1 ≠ 0, 2y – 1 ≠ 0 d) D = ℝ \{–3, –2}; 2y + 4 ≠ 0, 2y + 6 ≠ 0 132 a)   10xy  _ 5y 2 b)   12 _  x 3 – x c)   5t 2 + 5tu _  12tu + 12u 2 d)   30x 2  __   15x 2 – 30xy + 15y 2 e)   4a 2 + 16ab + 16b 2   __ 4ay + 8by  f)   8a 2 – 8ab _ 4ab – 4b 2 133 a) EF: 3x;   6x 2  _ 9x  b) EF: 6x;   18xy 2  _ 48x  c) EF: 2ab;   6a 3 b 3  _ 42a 2 b d) EF: (2x – y);   4x 2 – y 2  _  6x 2 – 3xy e) EF: (a + b);   a + b _  a 2 – b 2 f) EF: (s + 3);   s 2 – 9 _  s 2 + 6s + 9 134 a)   3x 2 + 7y 2  _ a  b)   –2a + 3 _ 5a  c)   3 – 2x 2  _ x  d)   4xz – 5z – 15 _ 3z 2 e)   1 _ x + 1  f)   9s + 3t _ st  135 richtig:   x 2 + xy + 3  _ x + y  ; ZB: 1. Fehler: Brüche dürfen nur addiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben. Hakan muss x mit dem Nenner (x + y) erweitern. 2. Fehler: Nur gleiche Variablen dürfen addiert werden. Hakan darf 3 + x nicht addieren. 136 a)   4x – 11 _ 2x  ; Probe: ZB: x = 2; –   3 _ 4 b)   z – 9 _ z + 3  ; Probe: ZB: z = 2; –1   1 _ 5 137 ZB: Sandra hat Recht. Lisa hat beim Aufschreiben der Zähler auf den gemeinsamen Bruchstrich übersehen, dass das Minus vor den Brüchen für beide Teile des Binoms im Zähler gilt. Der Bruch müsste richtig lauten:   8x – 2x – 1 – 5x –2  __ z 138 a)   18x 2 – 50x – 12x 2 y + 49xy – 9y 2    ___  30xy  ; Probe: ZB: x = 2, y = –1; 1  9 _ 20  b)   a 2 + b 2  __   (a – b) ∙ (a 2 – b 2 ) ; Probe: ZB: a = 2, b = –1;   5 _ 9 c) –   16 _ (a – 4) ∙ (a – 5)  ; Probe: ZB: a = 2; –2   2 _ 3 d)   – 6x + 7y + 3  _  y 2 – 9 ; Probe: ZB: x = 2, y = –1; 2 e)   x 2 + y 2 – 2y 2  _  x 2 – y 2 ; Probe: ZB: x = 2, y = 1; 1 f)   – 3s 2 – 2st + t 2  __ s(s 2 – t 2 ) ; Probe: ZB: s = 2, t = –1; –1   1 _ 6 139 a) 3a b) –   x _ 2 c) 2c 2 d)   11 _ x + 1  e) 3 f)   x + 2 _ x  g)   4 _ y h)   1 _ x 140 Kreuze folgende Tipps an: Durch Herausheben kannst du im Zähler und im Nenner ein Produkt erhalten. Ist im Zähler und im Nenner derselbe Faktor vorhanden, kannst du ihn kürzen. Aus Summen darf man nicht kürzen. 141 a)   2(x + 1)  _ 3x – 1  b) 5 c)   x – y  _ x + y  d) a – b e)   3 _ y – 5  f) a – 2 142 a) 8a b) 3 c) (a – b) ∙ (a – 4) = a 2 – ab – 4a + 4b d)   9rs _  (2r – s) 2 =   9rs _  4r 2 – 4rs + s 2 e)   a + 2b _ 2  f)   4a – 7 _ 3a + 5b  143 a)   1 _  9x 2 b)   6 _ x c) 5b d)   3 _ 2(x – 3y)  =   3 _ 2x – 6y  e) 1 f)   2a – 3b _ 7  144 a)   5a – 2b _ 2ab  b)   x 2 + 3 _ 4x  c)   2 _ y – 1  d)   3a – 4 _ (a + 2) ∙ 2a  =   3a – 4 _  2a 2 + 4a e)   2 _ x – y  f)   1 _ 3 145 a) 2p b)   y  _ x(x + y)  =   y  _  x 2 + xy c)   1 _ 2b  146 a) u = 2 ∙ (x + 12); A = 12x – 10 b) u = 40m; A = 86 m 2 147 1 : 12 ∙ (x – 2) + 7 ∙ 2 2 : 7 ∙ x + 5 ∙ (x – 2) 3 : 12 ∙ x – 2 ∙ 5; 4 : 7 ∙ (x – 2) + 5 ∙ (x – 2) + 2 ∙ 7 148 richtige Lösung: a) x 2 + 2xy + y 2 b) x 2 – 2xy + y 2 c) richtig d) (x + y) ∙ (x – y) 149 a) Fahrtstrecke 1km 8km 10km Fahrpreis 4,50€ 22€ 27€ Fahrtstrecke 12km 30km x km Fahrpreis 32€ 77€ 2,50€ ∙ x + 2€ b) Fahrpreis: 2,5x + 2 150 a) A – B: 5x – 7; A ∙ B: 21x – 6x 2 b) A – B: 14s; A ∙ B: 25r 2 – 49s 2 c) A – B: –k 2 – 9; A ∙ B: 54k + 36k 2 + 6k 3 d) A – B: –x 2 + 3xy – y 2 ; A ∙ B: x 3 y – 2x 2 y 2 + xy 3 151 a) A = a 2 – b 2 b) A = 2 ∙   (a + b) ∙ (a – b)  __ 2  = a 2 + ab – ab – b 2 = a 2 – b 2 Die Ergebnisse sind gleich. 152 a) 6a 2 + 13ab + 8b 2 ; Probe: 64 b) –8xy 2 + 4xyz – 24y 2 z; Probe: –32 153 a)   2ab _ (2a – b)  b)   r 2 + 8r + 16 _ r 2 s – 16 154 a)   a _ a + 1  b)   a _ a + 1  c)   1 _ 9(3x + 4y)  =   1 _ 27x + 36y  d)   1 _ a KAPITEL 4 155 Der rechte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite (der Hypotenuse) und wird von den beiden Katheten gebildet. a) x 2 + y 2 = z 2 b) r 2 + t 2 = s 2 c) (    c _ 2 ) 2 + h 2 = a 2 d) (    c – a _ 2  ) 2 + h 2 = b 2 156 A : √ ____ 5 2 + 3 2  ; B : √ ____ 7 2 – 5 2  ; C : √ _____ 11 2 + 5 2  ; D : √ ____ 9 2 – 6 2  ; E : Kathete 1: √ _____ 100 – 9, Kathete 2: 3; F : Kathete 2: 4, Hypotenuse: a 157 a) x = 1cm b) x = 50mm c) x = 6cm d) x = 2cm 158 _  AB= a √ _ 3= 10,4cm (10,392…); A =   a 2  _ 2  √ _ 2= 25,5cm 2 (25,455…) 159 a) Parallelogramm b) A (0 |0), B (3 |0), C (4 |3), D(1 |3) c) Verbinde den Eckpunkt A mit dem Eckpunkt C bzw. den Eckpunkt B mit dem Eckpunkt D. d) _  AC= 5cm, _  BD= 3,61cm (3,6055…); ZB: Bilde mit Hilfe der x– bzw. y-Koordinaten des Eckpunktes C und der Diagonale AC ein rechtwinkliges Dreieck. Mit Hilfe der y-Koordinate des Eckpunktes, der um 1 verminderten x-Koordinate des Eckpunktes B und der Diagonale BD kannst du ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck bilden. _  AC= √ _____ 4 2 + 3 2  bzw. _  BD= √ ____ 2 2 + 3 2   K K K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv