100 % Mathematik 4, Schulbuch

106 4 Messen und berechnen I Mehr als Pythagoras – Kathetensatz und Höhensatz Zeichnet das rechtwinklige ungefärbte Dreieck 1 wie darge­ stellt dreimal auf ein Blatt Papier. Die Höhe teilt die Hypotenuse c in zwei Teilabschnitte p und q. Malt bei einem Dreieck die beiden Teildreiecke in unterschiedlichen Farben an 2 . Schneidet im bunten Dreieck die beiden Teildreiecke aus. Malt auch die Rückseiten dieser Dreiecke in den gleichen Farben an und beschriftet die Seitenlängen. Das kleinere Teildreieck passt genau in die Ecke beimWinkel β, da es zum ganzen Dreieck ähnlich ist: Klebt das gelbe Dreieck in die Ecke des ungefärbten Drei­ ecks 3 . Jakob wendet bei dem Dreieck 3 den Strahlensatz (siehe Band 3, Seite 193) an. Vervollständigt die Umformung, bis ihr eine Formel für b erhält. b : c = q : b b _ c = q _ b | ∙ b Wiederholt den Vorgang aus 381 , klebt aber diesmal das größere (rote) Dreieck in die Ecke beimWinkel α. Stellt dann eine Formel für a auf (ausgedrückt durch p und c). Berechne die gesuchte Länge. Konstruiere das Dreieck im Heft. a) p = 1,8 cm; c = 7,2 cm; a = ? b) q = 2,3 cm; c = 4,4 cm; b = ? Berechne die Länge der Dachsparren dieses Glasdachs. 381 I3 H1–3 K2 382 I3 H1–3 K2 Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck gilt neben dem Satz des Pythagoras: a 2 = p ∙ c a, b … Katheten c … Hypotenuse b 2 = q ∙ c p … Hypotenusenabschnitt beimWinkel β q … Hypotenusenabschnitt beimWinkel α Wissen 383 I3 H1, 2 K1 384 I3 H2, 3 K1 Dachsparren 3,5m 6m c a b h p qα β A B C c a b h p qα β β A B C α c a b b h h q α β A B C 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv