100 % Mathematik 2, Arbeitsheft

5 4 Figuren und Körper beschreiben KAPITEL 4 142 a) Achte auf die Längen der Seiten. Manchmal musst du mit dem Geodreieck nachmessen. b) grün: allgemeine Dreiecke; gelb: gleichseitige Dreiecke; blau: gleichschenklige Dreiecke 143 Vergleiche mit der richtigen Beschriftung eines Dreiecks im „Wissenskasten“ von Seite 83 im Schulbuch! a) Die Seiten werden passend zu den gegenüberliegenden Eckpunkten beschriftet. b) Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. 144 a) ZB: C (4 | 4); C (4 | 5); usw. b) ZB: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Der Eckpunkt C liegt auf der Streckensymmetrale der Strecke AB. Seine x-Koordinate ist immer 4, die y-Koordinate kann beliebig gewählt werden. 145 a) b) Art des Dreiecks Dreiecks-Nr. Art des Dreiecks Dreiecks-Nr. spitzwinklig 4, 7, 9 gleichseitig stumpf- winklig 1, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 14 gleich- schenklig 6, 7, 8, 14 rechtwinklig 2, 12 nicht symmet- risch 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13 146 Bezeichnung α β allgemeines, stumpfwinkliges Dreieck 40° gleichschenklig, rechtwinkliges Dreieck 90° gleichseitig, spitzwinkliges Dreieck 60° 60° allgemeines, spitzwinkliges Dreieck 50° 75° 147 Kreuze von oben nach unten an: Falsch: ZB: Nur wenn die Basiswinkel 2 · α > 90° sind, entsteht ein gleichschenklig, spitzwinkliges Dreieck. Wenn 2 · α = 90° entsteht ein gleichschenklig, rechtwinkliges Dreieck. Ist 2 · α < 90°, handelt es sich um ein gleichschenklig, stumpfwinkliges Dreieck. Richtig: ZB: Ein Dreieck ist nur dann gleichseitig, wenn alle Winkel 60° betragen. Falsch: ZB: Die Winkelsumme beträgt in jedem Dreieck 180°. Ist zB γ = 90°, sind α und β komplementär Winkel (α + β = 90°). 148 ZB: Jedes Dreieck hat drei Höhen. Maja hat die Höhe h b = 32mm abgemessen, P h c = 36mm. (h a = 39mm) 149 a) Im gleichseitigen Dreieck sind alle Höhen gleich lang. h = 26 b) Die Höhen auf die Schenkel sind gleich lang. h a = 27mm, h b = 43,5 c) Im rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete a Höhe auf die Kathete b und umgekehrt. a = h b = 24mm, b = h a = 38mm, h = 20mm 150 a) Die Höhen stehen normal auf die Seiten. b) Beachte, dass Höhe und Seite einen rechten Winkel bilden. Die Höhe geht von der Seite bis zum gegenüber- liegenden Eckpunkt. 151 a) Dreieck 1: allgemeines, rechtwinkliges Dreieck; Dreieck 2: allgemeines, stumpfwinkliges Dreieck b) Im rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete a Höhe auf die Kathete b und umgekehrt. Der Höhenschnittpunkt ist der Eckpunkt C. Im stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks auf der Höhenlinie, die durch den Eckpunkt mit dem stumpfen Winkel geht. c) Beachte, dass Höhe und Seite einen rechten Winkel bilden. Die Höhe geht von der Seite bis zum gegenüber- liegenden Eckpunkt. 152 Beschriftung: Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeiger- sinn mit Großbuchstaben beschriftet. Die Winkel werden entsprechend der Eckpunkte mit griechischen Kleinbuchsta- ben beschriftet. Die Strecke AB ist die Seite a, die weiteren Seiten werden entgegen dem Uhrzeigersinn entsprechend beschriftet. a) V, δ = 79° b) T, γ = 68° c) V, δ = 92° d) T, α = 110°, γ = 70° 153 obere Hälfte von links nach rechts: rechtwinkliges Trapez, allgemeines Trapez, gleichschenkliges Trapez, gleichschenk- liges Trapez, rechtwinkliges Trapez untere Hälfte von links nach rechts: rechtwinkliges Trapez, allgemeines Trapez, gleichschenkliges Trapez, allgemeines Trapez, allgemeines Trapez, rechtwinkliges Trapez 154 Kreuze von oben nach unten an: Falsch: ZB: Das Trapez hat ein Paar parallele Seiten. Hier muss eine parallele Seite gezeichnet werden und ein Schenkel verlängert werden. Richtig: ZB: Ein Rechteck ist ein spezielles Trapez, weil es zwei parallele Seiten hat. Die Höhe entspricht einer Seitenlänge des Rechtecks. Richtig: ZB: Ein Trapez hat vier Seiten. Ist es ein gleichschenk- liges Trapez sind zwei Seiten gleich lang. Es gibt daher höchstens drei verschiedene Seitenlängen. Kreuze die Figuren 1, 2 und 5 156 Beachte, dass gegenüberliegende Seiten eines Parallelo- gramms gleich lang und parallel sind. Vergleiche mit der richtigen Beschriftung eines Parallelogramms im„Wissens- kasten“ von Seite 90 im Schulbuch. 157 a) Figur 1: = _ BD = 10,8 cm; Figur 2: _ AC = 9,4 cm, _ BD = 5 cm Figur 1: Rechteck; Figur 2: Parallelogramm c) Figur 1 hat vier rechte Winkel und die Diagonalen sind gleich lang. Figur 2: Die Diagonalen sind verschieden lang. Für die Winkel gilt: α = γ und β = δ, α + β = γ + δ = 180° 158 a) Nein, zB: Parallelogramme müssen nicht vier rechte Winkel haben. b) Nein, zB: jedes Parallelogramm hat zwei Paar parallele Seiten, das Trapez hat nur ein Paar parallele Seiten. c) Nein, zB: Eine Diagonal des Parallelogramms liegt stets einem stumpfen Winkel gegenüber, die andere Diagonale einem spitzen Winkel. Je größer der Winkel ist, umso länger ist die gegenüberliegende Seite. _ AC ≠ _ BD d) Nein, ein Parallelogramm ist nicht achsensymmetrisch (aber punktsymmetrisch). 159 ZB: a) Je zwei benachbarte Seiten eines Deltoids sind gleich lang. Zwei Winkel des Deltoids sind gleich groß, sie liegen einander gegenüber. Ihre Schenkel können unterschiedlich lang sein. Eine Diagonale ist die Symmetrieachse des Deltoids. Sie halbiert die andere Diagonale. Die Diagonalen stehen auf einander normal. ZB: b) Das Quadrat erfüllt alle Eigenschaften des Deltoids. Tobias hat mit seiner Aussage Recht. 160 a) α = 90°, β = δ = 84°, γ = 102° b) _ AB = _ AD, _ BC = _ CD c) Gerade durch A und C d) S (7 | 8) 161 ZB: a) Das Deltoid ist ein Viereck. Jedes Viereck kann mit Hilfe einer Diagonalen in zwei Teildreiecke zerlegt werden. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Die Winkelsumme in jedem Viereck beträgt daher 360°. b) Je zwei benachbarte Seiten eines Deltoids sind gleich lang. K K K K K K K K K K Nur zu Prüfzwecken γ 30° 110° 45° 45° 60° 55° 155 K – Eigentum aul die Höhe mm mm des b) Verlag an. _ AC öbv