Mach mit Mathematik PTS, Schulbuch

C 244 21. Oberfläche und Volumen einer kugel Das Volumen einer kugel kann man sich näherungsweise aus kleinen Pyramiden zusammengesetzt denken, deren gemeinsame Spitze der Kugelmittelpunkt ist. V = V 1 + V 2 + V 3 + … Jede dieser Pyramiden hat den Kugelradius als Höhe. V = G 1 · r ����� 3 + G 2 · r ����� 3 + G 3 · r ����� 3 + … Alle Pyramidengrundflächen zusammen ergeben die Kugeloberfläche. V = r · O ���� 3 = r · r 2 · π · 4 ��������� 3 , daher gilt für das Volumen: V = r 3 · π · 4 ������� 3 . Berechne das Volumen der kugel. Berechne das Fassungsvermögen des kessels in Liter. Bei der Herstellung von Käse verwendet man halbkugelförmige Kessel. a) r = 60 cm b) r = 50 cm c) d = 0,98 m Welche kantenlänge hat dieser apfel? Ein kugelförmiger Apfel hat einen Durchmesser von 11 cm. Nehmen wir an, man könnte ihn zu einem Würfel pressen. kannst du die kugel heben? Schätze zuerst. a) Kugel aus Gold: r = 15 cm ( ρ = 19,3 kg/dm 3 ) b) Kugel aus Holz: r = 25 cm ( ρ = 0,8 kg/dm 3 ) c) Kugel aus Kork: r = 50 cm ( ρ = 0,2 kg/dm 3 ) d) Kugel aus Styropor: r = 6 dm ( ρ = 0,017 kg/dm 3 ) Berechne den Radius. ein kugelförmiger Wetterballon hat einen Durchmesser von 15 m. 1 m 2 Ballonstoff wiegt 700 g. Der Ballon ist mit Wasserstoffgas ( ρ = 0,09 kg/m 3 ) gefüllt. Berechne a) das Volumen des Ballons, b) die Oberfläche des Ballons. c) Wie viel kg wiegt der gefüllte Ballon? 1737 1738 1739 1740 1741 1742 kugel V = r 3 · π · 4 ������� 3 oder V = d 3 · π  ����� 6 kugel r = 3 √   3 · V ���� 4 · π  Oberfläche und Volumen einer kugel kugel O = 4 · r 2 · π oder O = d 2 · π V = r 3 · π · 4 ������� 3 oder V = d 3 · π  ����� 6 Umkehrungen r = √   O ���� 4 · π  r = 3 √   3 · V ���� 4 · π  Zusammenfassung M G 1 G 3 G 2 a) b) c) d) e) r 29 cm 2,4 cm 12,4 cm d 42 cm 5,32 dm a) b) c) d) e) V 268 cm 3 1,44 dm 3 523,6 m 3 57,9 dm 3 195,4 dm 3 Beispiel Eine Bowling-Kugel hat ein Volumen von 5,4 dm 3 . V = 5 400 cm 3 V = r 3 · π · 4 ������� 3 ⇒ r = 3 √   3 · V ���� 4 · π  r = ? r = 3 √   3 · 5 400 ������� 4 · π  ≈ 10,9 cm Die Bowling-Kugel hat einen Radius von 10,9 cm. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv