Mach mit Mathematik PTS, Schulbuch

E 129 Zinseszinsen Weißt du schon, dass … … die Zinsen für Sparguthaben am Jahresende zum Kapital addiert („kapitalisiert“) werden? … diese Zinsen ab dem 1. Jänner mitverzinst werden? Man spricht daher von Zinseszinsen . Berücksichtige die Zinseszinsen. a) Vervollständige die Tabelle (p = 3 %; ohne Berücksichtigung der KESt.). b) Berechne K 1 , K 2 , … nochmals, indem du das jeweilige Kapital am Jahresbeginn mit dem Aufzinsungsfaktor r = 1 + p ��� 100 = 1,03 multiplizierst. Setzt man für 1 + p ___ 100 = r, so kann man allgemein schreiben: K 1 = K 0 · ( 1 + p ��� 100 ) = K 0 · r K 2 = K 1 · ( 1 + p ��� 100 ) = K 1 · r = (K 0 · r) · r = K 0 · r · r = K 0 · r 2 Schreibe zwei weitere Zeilen für K 3 und K 4 an. Berechne die Schuld nach n Jahren bei p % Zinseszinsen. Bettina bekommt von ihrer Oma zum 15. Geburtstag 1 000 €. Sie spart das Geld für ein Auto. Die Bank bietet ihr 4 % Zinsen, wenn sie das Guthaben 3 Jahre lang nicht abhebt. Mit welchem Betrag kann Bettina zu ihrem 18. Geburtstag rechnen? 22. 921 922 923 924 Jahr Kapital zu Jahresbeginn Jahreszinsen Kapital am Jahresende 1. K 0 = 100 € 3 € K 1 = 103 € 2. K 1 = 103 € K 2 = 3. K 2 = K 3 = 4. K 3 = K 4 = Durch Zinseszinsen steigen Vermögen und Schulden exponentiell, da der Zuwachs pro Zinsperiode immer größer wird. Kapital nach Anfangs- n-te Potenz des n Jahren = kapital x Aufzinsungsfaktors (Endkapital) Beispiel K 0 = 20 000 € Ü: Zinsen für 1 Jahr ....... 200 € · 8 = 1 600 € n = 10 Jahre für 10 Jahre ............... 16 000 € p = 8 % Zinseszinsen > 16 000 € ≈ 20 000 € K 10 = ? K 10 = K 0 · r 10 K 10 = 20 000 € · 1,08 10 = 20 000 € · 2,158 925 = 43 178,50 €. Die Schuld wächst mit Zinseszinsen auf 43 178,50 €. a) b) c) d) Kredit 6 400 € 50 000 € 12 400 € 85 000 € 30 000 € Zinssatz 8 % 6 % 8 % 7,5 % 5,5 % Laufzeit 6 Jahre 4 Jahre 8 Jahre 10 Jahre 6 Jahre Gesamtschuld 10 156 € Den Faktor r n kannst du auch aus dem Tabellen- teil Seite 259 entneh- men. „plus p %“ bedeutet „mal ( 1 + p ��� 100 ) “ kapital nach n Jahren K n = K 0 · r n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv