Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 13 5 Flächeninhalt und Umfang des Kreisringes (Seite 52) 18) a) Umkreis: d = a · √ __ 2 Ô d ≈ 8,5 cm (8,485…) Ô r 1 ≈ 4,2 cm (4,242…) Ô u 1 ≈ 26,7 cm (26,657…), A 1 ≈ 56,5 cm 2 (56,548…) Inkreis: r 2 = 3 cm Ô u 2 ≈ 18,8 cm (18,849…), A 2 ≈ 28,3 cm 2 (28,274…) Kreisring: u ≈ 45,5 cm (45,506…), A ≈ 28,3 cm 2 (28,274…) b) Grundwert = Quadratfläche, (Prozent-)Anteil = Inkreisfläche Ô p% ≈ 78,5% (78,539…) c) Grundwert = Quadratfläche, (Prozent-)Anteil = Umkreisfläche Ô p% ≈ 157% (157,079…) d) Grundwert = Umkreisfläche, (Prozent-)Anteil = Inkreisfläche Ô p% = 50% 19) Für den Umfang des Kreises gilt (Kurzsprechweise): „Umfang = Durch- messer mal π “ , als Formel: u = d · π bzw. u = 2r · π Für den Flächeninhalt des Kreises gilt kurz: „Flächeninhalt = Radius hoch 2 mal π “, als Formel A = r² · π Ein Kreissektor wird von zwei Radien und dem Kreisbogen begrenzt. Hat der Kreissektor den Zentriwinkel α , dann wird die Länge des Kreis- bogens b folgendermaßen berechnet: b = r · π · α ______ 180 Den Umfang des Sektors berechnet man mit u = 2 · r + b. Der Flächeninhalt des Kreissektors kann mit A = r 2 · π · α _______ 360 oder auch mit A = b · r ____ 2 berechnet werden. Ein Kreisring wird durch zwei konzentrische Kreise begrenzt. Für seinen Umfang gilt: u = u 1 + u 2 = 2r 1 · π + 2r 2 · π = 2 · π · (r 1 + r 2 ) Der Flächeninhalt des Kreisringes wird mit Hilfe der Differenz der beiden Kreisflächeninhalte berechnet: A = A 1 – A 2 = r 1 2 · π – r 2 2 · π = π · (r 1 2 – r 2 2 ). Lösungstext: STÖRE MEINE KREISE NICHT! D ZYLINDER – KEGEL – KUGEL 1 (Dreh-)Zylinder (Seite 53) 1) a) r = 10 cm, h = 25 cm Ô O =2199,114… cm 2 ≈ 2199 cm 2 b) V = 7853,981… cm 3 = 7,853… dm 3 ≈ 0,00785 m 3 c) m = V · ρ = 3,534… kg ≈ 3,5 kg 2) r = 9 cm Ô V = 8906,415… cm 3 = 8,906… dm 3 = 8,906… l. Das Glasgefäß fasst rund 8,9 Liter. 3) a) r = 0,4 m, Höhe des Wasserzylinders h = 0,7 m V = 0,35185… m 3 = 351,85… dm 3 = 351,85… l ≈ 3,52 hl b) Bestrichene Fläche: je zweimal Grundfläche und Mantelfläche Ô A = 8,042… m 2 ≈ 8,0 m 2 4) a) 1) M 1 = 2 · r 1 · π · h 1 = 2 · r · π · 2 · h = 4 · r · π · h = 2 · M Die Mantelfläche wird doppelt so groß. 2) V 1 = r 1 2 · π · h 1 = r 2 · π · 2 · h = 2 · r 2 · π · h = 2 · V Das Volumen wird doppelt so groß. b) 1) M 2 = 2 · r 2 · π · h π · h = 4 · r · Die Mantelfläche wird doppelt so groß. 2) V 1 = r 2 2 · π · π · h = 4 · r Das Volumen wird viermal so groß. c) 1) M 2 = 2 · r 3 · π · h = 2 · 2 · r · π · h = 4 · M Die Mantelfläche wird viermal so groß. 2) V 1 = r 3 2 · π · h 3 = (2 · r) 2 · π · h = 8 · V Das Volumen wird achtmal so groß. 5) h = V _____ (r 2 · π ) Ô h = 2,099… cm ≈ 2,1 cm 6) r 2 = V _____ (h · π ) Ô r = √ ______ V _____ (h · π ) r = 3,498… cm ≈ 3,5 cm 7) 3 __ 4 l = 0,75 l = 0,75 dm 3 = 750 cm 3 d = 12,4 cm Ô r = 6,2 cm Ô h = 6,210… cm ≈ 6,2 cm 2 (Dreh-)Kegel (Seite 54) 8) a) r = 6,5 cm Ô V = 690,207… cm 3 ≈ 690 cm 3 b) s = 16,9 cm Ô M = 345,103… cm 2 ≈ 345 cm 2 c) O = G + M = 477,836… cm 2 ≈ 478 cm 2 9) 1) O = 1246,898... cm 2 ≈ 1247 cm 2 2) Zum Berechnen des Rauminhaltes benötigst du noch die Höhe des Kegels. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: h 2 = s 2 – r 2 Ô h = 25,2 cm Ô V = 2909,428… cm 3 ≈ 2909 cm 3 10) a) r = 6,2 cm, h Z = 6,4 cm, h K = 13,8 cm V Z = 772,882… cm 3 , V K = 555,508… cm 3 Ô V =1328, 391… cm 3 = 1,328… dm 3 ≈ 1,33 l Das Gefäß fasst rund 1,33 l. b) Die zu lackierende Fläche A ist so groß wie die Mantelfläche des Dreh- zylinders und die Mantelfäche des Drehkegels zusammengenommen: s = 15,128… cm M Z = 249,316… cm 2 , M K = 294,676… cm 2 Ô A = 543,993… ≈ 544 cm 2 Es sind rund 544 cm 2 zu lackieren. 11) V = r 2 · π · h ______ 3 Ô h = V · 3 ______ (r 2 · π ) Ô h = 3,819… m ≈ 3,82 m 12) Da das Produkt π · h etwas mehr als 3 ergibt und V = den Zahlen- wert 1 haben soll, muss r etwas kleiner als 1 sein. Daher ist auch r kleiner als 1 m und der Durchmesser knapp weniger als 2 m. V= r 2 · π · h _______ 3 Ô r = 0,954… Ô r = 0,9772.. m Ô d ≈ 1,95 m 13) r = 10 cm = 0,1 m 1 = 0,002 m 3 = 0,190… m ≈ 19 cm V 2 = 0,0016 m 2 = 0,152… m ≈ 15 cm; V 3 = 0,0012 m Ô h 3 = 0,114… m ≈ 11 cm 1. Platz (5 kg): ≈ 19 cm 2. Platz (4 kg): ≈ 15 cm 3. Platz (3 kg): ≈ 11 cm (Seite 55) 14) r = 4,2 cm O = 221,67 cm 3 ≈ 222 cm 3 , V = 310,339… cm ≈ 310 cm 3 = 0,31 dm 3 = 0,000 31 m 3 Ô m = V · ≈ 0,124 kg ≈ 12,4 dag 15) NEIN a) r 1 = 5 cm Ô r 2 = 10 cm Ô O 1 ≈ 314 cm 2 , O 2 ≈ 1257 cm 2 ; ≈ 524 cm 3 , V 2 ≈ 4189 cm 3 Marvins Behauptung ist falsch. b) O 2 = 4 · r 2 2 · π = 4 · (2 · r 1 ) 2 · π = 16 · r 1 2 · π = 4 · O 1 Die Oberfläche wird viermal so groß . V 2 = 4 · r 2 3 · π _______ 2 3 = 4 · (2 · r 1 ) 3 · π __________ 3 = 32 · r 1 3 · π ________ 3 = 8 · V 1 Das Volumen wird achtmal so groß. 16) a) O ≈ 12,6 m 2 V ≈ 4,2 m 3 b) r ≈ 28,2 cm V ≈ 94,0 dm 3 c) r ≈ 62,0 cm O ≈ 4,8 m 2 17) V = 0,000508… m 3 Ô r = 0,04950… m ≈ 4,95 cm Die 4 kg-Eisenkugel hat einen Durchmesser von rund 9,9 cm. 18) Für das Volumen der Flaschen muss man jeweils das Volumen von Dreh- zylinder und Halbkugel addieren. V 1 = 402,12 cm 3 + 134,04 cm 3 = 536,16… cm 3 ≈ 0,54 l V 2 = 251,32 cm 3 + 16,75 cm 3 = 268,08… cm 3 ≈ 0,27 l Zum Ermitteln des Materialverbrauchs benötigt man jeweils die Grund- fläche und die Mantelfläche des Drehzylinders sowie die halbe Ober- fläche der Kugel: A 1 = 351,85… cm 2 , A 2 = 289,02… cm 2 Antwort: Die Flasche 1 fasst mehr Liter und man benötigt für sie auch mehr Material. Nur 2 = 2 · 2 · r · · h 2 = (2 · r) 2 3 zu Prüfzwecken 2 Ô 2 = V · 3· _______ (h · π ) Ô r 2 Ô V 3 Ô h 3 3 Kugel – Eigentum π · h = 2 · M 2 · π · h = 4 · V · 2 · h = 8 · r · π π · 2 · h = 8 · r 2 · Ô des r V 1 Verlags Ô h 1 Ô 3 ρ öbv r 2 · π · h _______ 3