Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 12 5 Prisma und Pyramide (Seite 47, 48) 21) Die Flächendiagonale d 1 ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b. Es gilt daher d 1 2 = a 2 + b 2 und d 1 = √ _______ a 2 + b 2 . In gleicher Weise gilt d 2 2 = a 2 + c 2 und d 2 = √ _______ a 2 + c 2 . Ebenso gilt d 3 2 = b 2 + c 2 und d 3 = √ _______ b 2 + c 2 . Die Raumdiagonale d ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten d 1 und c. Es gilt daher d 2 = d 1 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 und d = √ ___________ a 2 + b 2 + c 2 . 22) a) d 1 = 15,3 cm, d 2 = 22,2 cm, d 3 = 24,964… cm ≈ 25,0 cm; d = 25,982… cm ≈ 26,0 cm b) V = 2041,2 cm 3 c) O = 1063,8 cm 2 23) a) Die Begrenzungsflächen des Würfels sind deckungsgleiche Quadrate. Daher sind alle Flächendiagonalen gleich lang. b) d 1 2 = a 2 + a 2 = 2 · a 2 Ô d 1 = √ _____ 2 · a 2 = a · √ __ √ 2 d 2 = a 2 + d 2 = 3 · a 2 Ô d = √ _____ 3 · a 2 = a · √ __ 3 24) a) V = a · a · a = a 3 Ô a = 3 √ __ V Ô a = 8,4 cm. b) d 1 = 11,879… cm ≈ 11,9 cm; d = 14,549… cm ≈ 14,5 cm c) O = a 2 · 6 Ô O = 423,36 cm 2 25) a) G =39,079 cm 2 ≈ 39,1 cm 2 Die Höhe h des Prismas entspricht der Länge der Stahlschiene Ô V = 3360,828 cm 3 ≈ 3361 cm 3 b) Die Mantelfläche M besteht aus drei Rechtecken mit den Seiten- längen 9,5 cm und 86,0 cm. M = 2451 cm 2 Ô O = 2529,158 cm 2 ≈ 2529 cm 2 c) V = 3360,828… cm 3 = 3,360… dm 3 = 0,00336… m 3 m = 0,00336… · 7800 = 26,214… Ô m ≈ 26,2 kg . 26) a) G = a 2 Ô G = 23,04 cm 2 Ô V = 34,56 cm 3 b) h 1 2 = h 2 + ( a __ 2 ) 2 Ô h 1 = 5,1 cm. c) Der Mantel besteht aus vier gleichschenkligen Dreiecken. A = a · h 1 _____ 2 Ô A = 12,24 cm 2 Ô M = 48,96 cm 2 Ô O = 72,0 cm 2 d) s 2 = h 1 2 + ( a __ 2 ) 2 Ô s = 5,636… cm ≈ 5,6 cm. 27) a) ( a __ 2 ) 2 = s 2 – h 1 2 Ô a __ 2 = 9,9 m Ô a = 19,8 m Ô M = 522,72 m 2 . Die Dachfläche ist rund 523 m 2 groß. b) h 2 = h 1 2 – ( a __ 2 ) 2 Ô h = 8,730… m ≈ 8,7 m Ô V = 1140,964 m 28) a) G = 3 · V ____ h Ô G = 15 m 2 . Die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck, das sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist daher rund 2,5 m 2 groß. A = a 2 __ 4 · √ __ 3 Ô a 2 = 4 · A ____ √ __ _ 3 Ô a 2 = 5,773… Ô a = 2,402… m Die Grundkanten der Pyramide müssen rund 2,40 m lang sein. b) Die Seitenkante s, die Körperhöhe h und die halbe Grundflächen- diagonale bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die halbe Grundflächen- diagonale ist genau so lang wie die Grundkante a. s² = h² + a² Ô s ≈ 6,5 cm Merkenswertes – Lehrsatz des Pythagoras (Seite 49) n Für die Seitenlängen jedes rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt der Satz von Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 Außerdem gilt der Kathetensatz: a = c · q Der Höhensatz lautet: h 2 = p · q Die Strecken p und q nennt man die Hypotenusenabschnitte. n Im Rechteck gilt folgender Zusammenhang zwischen den Längen der Seiten a und b und der Diagonale d: d = a² + b² bzw. d = √ _______ a 2 + b 2 Im Quadrat gilt: d 2 = 2 · a² bzw. d = a · √ __ 2 n Im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a gilt für die Höhe h = a __ 2 · √ __ 3 und für den Flächeninhalt A = a 2 __ 4 · √ __ 3 n Im gleichschenkligen Dreieck , im allgemeinen Dreieck , im Parallelo- gramm und im Trapez erhält man durch Einzeichnen von Höhen rechtwink- lige Teildreiecke. Kennt man zwei ihrer Seitenlängen, kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die dritte Seitenlänge und somit alle gesuchten Streckenlängen des Dreiecks bzw. Vierecks berechnen. Im Rhombus und im Deltoid bilden die normal aufeinander stehenden Diago- nalen rechtwinklige Teildreiecke, die man zum Berechnen gesuchter Seiten- und Diagonalenlängen verwenden kann. Lösungswort: RECHTWINKLIGE DREIECKE s Formelsammlung räumliche Geometrie Quader: Flächendiagonalen: d 1 = √ _______ a 2 + b 2 , d 2 = √ _______ a 2 + c 2 , d 3 = √ _______ b 2 + c 2 Raumdiagonale: d = √ ___________ _ a 2 + b 2 + c 2 Würfel: Flächendiagonale: d 1 = a · √ __ 2 Raumdiagonale: d = a · √ __ 3 Prisma: O = 2 · G + M, V = G · h Pyramide: O = G + M, V = 1 __ 3 · G · h Dichte von Körpern: ρ = m __ V Lösungswort: SCHAU GENAU! C BERECHNUNGEN AM KREIS 1 Umfang des Kreises – Die Zahl π 2 Länge des Kreisbogens (Seite 50) 1) a) d = 15,7 cm Ü: u ≈ 16 · 3 = 48 TR: u = 15,7 · π = 49,323… cm ≈ 49,3 cm b) d = 6,14 m Ü: u ≈ 6 · 3 = 18 TR: u = 6,14 · π = 19,289… m ≈ 19,3 m c) r = 4,20 km Ü: u ≈ 8 · 3 = 24 km TR: u = 8,4 · π = 26,389… km ≈ 26,4 km 2) a) u ≈ 15325 km c) u ≈ 449197 km b) u ≈ 38026 km d) u ≈ 155597 km 3) a) d = u __ b) r = u _____ (2 · π ) 4) a) r = 3,899… cm ≈ 3,9 cm b) r = 0,725… m ≈ 0,73 m 5) a) r ≈ 3397 km b) r ≈ 1195 km c) r ≈ 25559 km d) r ≈ 60268 km 6) a) Savanna hat Recht. b) Das Rad vollführt rund 318 Umdrehungen. 7) a) b = 8,848… cm ≈ 8,8 cm b) b = 52,311… m ≈ 52,3 m c) u = 64,311… cm ≈ 64,3 cm 8) a) 60° Ô b ≈ 99,5 cm (99,483…) b) 270° b ≈ 447,7 cm ≈ 4,48 m c) 24 volle Drehungen, das entspricht 24 Kreisumfängen. u ≈ 596,9 cm, 24 · u ≈ 14326 cm ≈ 143,26 m. Der Zeiger legt in 1 Tag rund 143 m zurück. 9) a) r = b · 180 ______ ( π · α ) b) α = b · 180 ______ (r · π ) 10) a) r ≈ 19,7 cm (19,716…) b) α ≈ 85° (84,955…) ° 3 Flächeninhalt des Kreises 4 Flächeninhalt des Kreissektors (Seite 51) 11) a) d = 17,8 cm Ô r = 8,9 cm Ü: A ≈ 9 2 · 3 = 243 cm 2 TR: A = 8,9 2 · π = 248,845… ≈ 249 cm 2 b) d = 9,62 m Ô r = 4,81 m Ü: A ≈ 5 2 · 3 = 75 m 2 TR: A = 4,81 2 · π = 72,684… ≈ 72,7 m 2 12) Umfang: Ü: u ≈ 20 · 3 = 60 TR: u ≈ 58,1 m (58,119…) Flächeninhalt: Ü: A ≈ 10 2 · 3 = 300 TR: A ≈ 269 m 2 (268,802…) 13) a) r 2 = A __ π Ô r = √ __ A __ π b) r ≈ 2,8 cm (2,843…), u ≈ 17,9 cm (17,865…) 14) a) u = 2 · π m ≈ 6,3 m A = π m 2 ≈ 3,14 m 2 b) r = 1 _____ (2 · π ) m ≈ 0,16 m c) r = √ __ 1 __ π m ≈ 0,56 m 15) richtig ist: der Flächeninhalt A 16) 1) b = A · 2 ____ r Ô b = 16 · π cm ≈ 50,3 cm 2) α = A · 360 ______ (r 2 · π ) Ô α = 45° oder α = b · 180 ______ (r · π ) Ô α = 45° 17) a) Äußerer Kreisbogen: b 1 ≈ 404,9 m, innerer Kreisbogen: r 2 = 147,5 m Ô b 2 ≈ 373,3 m; Insgesamt werden rund 778,2 m Leitschienen benötigt. b) großer Kreissektor: A 1 ≈ 32393 m 2 , kleinerer Kreissektor A 2 ≈ 27530 m 2 Insgesamt werden für die Kurve rund 4864 m 2 Straßenbelag benötigt. Nur zu Prüfzwecken 3 ≈ 1141 m 3 π – Eigentum 2 = c · p und b 2 2 des Verlags Ô öbv