Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 11 B LEHRSATZ DES PYTHAGORAS 1 Anwendungen im rechtwinkligen Dreieck (Seite 42) 1) a) b) c) d) e) a (in cm) 19,5 67,2 31,2 19,5 33,6 b (in cm) 46,8 28,0 23,4 26,0 25,2 c (in cm) 50,7 72,8 39,0 32,5 42,0 A (in cm 2 ) 456,3 940,8 365,04 253,5 423,36 h c (in cm) 18,0 25,85 18,72 15,6 20,16 Lösungstext: DIE ZAUBERFLOETE 2) a) A(1 |2), B(5 |7) b) Die Differenz ihrer x-Koordinaten beträgt 4 cm. Die Differenz ihrer y-Koordinaten beträgt 5 cm. ___ AB 2 = 4 2 + 5 2 Ô ___ AB = √ ___ 41 cm ≈ 6,4 cm c) ___ AB ≈ 6,4 cm 3) a) 0 y A B C 2 4 1 3 5 x 1 2 3 4 5 6 7 b) Seite AB: Differenz der x-Koordinaten: 7 cm Differenz der y-Koordinaten: 1 cm ___ AB 2 = 7 2 + 1 2 Ô ___ AB = √ ___ 50 cm ≈ 7,1 cm Seite BC: Differenz der x-Koordinaten: 5 cm Differenz der y-Koordinaten: 5 cm ___ BC 2 = 5 2 + 5 2 Ô ___ BC = √ ___ 50 cm ≈ 7,1 cm Seite AC: Differenz der x-Koordinaten: 2 cm Differenz der y-Koordinaten: 4 cm ___ AC 2 = 2 2 + 4 2 Ô ___ AC = √ ___ 20 cm ≈ 4,5 cm c) ___ AB ≈ 7,1 cm, ___ BC ≈ 7,1 cm, ___ AC ≈ 4,5 cm d) A = 35 cm 2 – (3,5 + 12,5 + 4,0) cm 2 = 15 cm 2 Kathetensatz und Höhensatz 3 Beweise für den Satz von Pythagoras (Seite 43) 4) a 2 = c · p Ô c = a 2 : p c = 97,5 cm. Aus b 2 = c 2 – a 2 folgt b = 78,0 cm. 5) h 2 = p · q Ô h = 15,6 cm, c = 32,5 cm. Aus a 2 = p · c folgt: a = 26,0 cm, aus b = q · c folgt: b = 19,5 cm. Überprüfung: a 2 + b 2 = 1056,25; c 6) p 2 = a 2 – h 2 Ô p = 43,2 cm: h 2 : p Ô q = 7,5 cm c = 50,7 cm; b 2 = c 2 – a 2 Ô b = 19,5 cm. 7) A 1 = b · b = b 2 , A 2 = a · a = a Das frei bleibende Viereck im unteren Rahmen ist ebenfalls ein Quadrat, weil es vier gleich lange Seiten (c) hat und die Winkel 90° groß sind. Sie ergänzen die beiden komplementären Winkel α und β des rechtwinkli- gen Dreiecks auf einen gestreckten Winkel. A 3 = c · c = c 2 Daraus folgt unmittelbar der Satz von Pythagoras, weil die nach dem Auflegen der jeweils vier kongruenten Dreiecke frei bleibenden Flächen im oberen Rahmen insgesamt genau so groß sein müssen wie die frei bleibende Fläche im unteren Rahmen: A 1 + A 2 = A 3 Ô a 2 + b 2 = c 2 8) Man kann „sehen“: Die Quadrate über den Katheten a und b bestehen jeweils aus zwei Geodreiecken. Das Quadrat über der Hypotenuse c be- steht aus vier Geodreiecken: 2 Geodreiecke + 2 Geodreiecke = 4 Geodreiecke Ô a 2 + b 2 = c 2 4 Anwendungen in ebenen Figuren (Seite 44–46) 9) a) 6,40 m = 640 cm Ô 640 cm : 200 = 3,2 cm b) Zeichnung: Ganzes Spielfeld: d 1 ≈ 7,2 cm; Spielfeldhälfte: d 2 ≈ 4,5 cm Wirklichkeit: d 1 ≈ 7,2 cm · 200 = 1440 cm = 14,4 m; d 2 ≈ 4,5 cm · 200 = 900 cm = 9,0 m c) d 1 2 = 6,4 2 + 12,8 2 = 204,8 Ô d 1 ≈ 14,31 m; d 2 2 = 6,4 2 + 6,4 2 = 81,92 Ô d 2 ≈ 9,05 m d 2 d 1 10) Länge der Seite a, Begründung: Die Seiten a und b des Rechtecks und die Diagonale d bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit d als Hypotenuse. Aus d 2 = a 2 + b 2 folgt a 2 = d 2 – b 2 bzw. a = √ _______ d 2 – b 2 . 11) ( c __ 2 ) 2 = a 2 – h c 2 Ô ( c __ 2 ) 2 = 56,25 Ô c __ 2 = 7,5 c = 15,0 cm A = c · h c ____ 2 Ô A = 135,0 cm a · h a _____ 2 Ô h a = A · 2 ____ a Ô ≈ 13,8 cm. 12) a, c: √ ________ a 2 – ( c __ 2 ) 2 a, h ________ – h c 2 c, h 13) a) h = 6,581… cm ≈ 6,6 cm, A = 25,010… ≈ 25,0 cm b) a = h · 2 ____ a = 9,699… cm ≈ 9,7 cm, A = 40,737… ≈ 40,7 cm 2 c) a = 8,098…. ≈ 8,1 cm; h = 7,013… ≈ 7,0 cm 14) Die Höhe h teilt das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinkli- ge Dreiecke. Man kann daher den Satz von Pythagoras anwenden – ( a __ 2 ) 2 und damit h berechnen. In jedem Dreieck gilt: „Flächeninhalt = Seite mal zugehörige Höhe durch 2“. Man erhält daher den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a und der Höhe h durch A = a · h ____ 2 . 15) Rafael hat Recht. Die Spiegelfläche ist doppelt so hoch wie ein solches gleichseitiges Dreieck, ihr Flächeninhalt beträgt das Sechsfache des Dreiecksfl inhalts. 16) a) = ( e __ 2 ) 2 + ( f __ 2 ) 2 Ô ( f __ 2 ) 2 = a 2 – ( e __ 2 ) 2 Ô f = 12,0 cm; b) A = 172,8 cm 2 c) A = a · h a Ô h a = h = A __ a Ô h = 11,076… ≈ 11,1 cm. Der Inkreisradius ist halb so groß wie die Höhe des Rhombus. Daraus folgt ρ = 5,538… cm ≈ 5,5 cm. 17) A = 1620 cm 2 x 2 = a 2 – h a 2 Ô x = 27 cm. e 2 = h a 2 + (a + x) 2 Ô e = 80,498… cm ≈ 80,5 cm f 2 = h a 2 + (a – x) 2 Ô f = 40,249… cm ≈ 40,2 cm Kontrolle: A = e · f ____ 2 Ô A = 1 620 cm 2 18) a) m = 7,2 cm (a + m) 2 = e 2 – h a 2 Ô a + m = 28,0 cm Ô a = 20,8 cm b) f 2 = h a 2 + (a – m) 2 Ô f = 16,646… cm ≈ 16,6 cm c) A = a · h a Ô A = 199,68 cm 2 d) h b = A : b Ô h b = 16,64 cm ≈ 16,6 cm. 19) a) Ich berechne im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten h, b und x = a – c ____ 2 die Länge der Seite b (= d): b = √ _______ h 2 + x 2 Die Diagonale e (= f) ist Hypotenuse des Dreiecks mit den Katheten h und (a – x) Ô e = √ ___________ h 2 + (a – x) 2 Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt: A = (a + c) · h ________ 2 b) x = 2,4 cm, b = d = 4,0 cm, e = f = 13,0 cm, A = 40,32 cm 2 20) Geeignet ist Rechengang D . Nicht geeignet sind Rechengang A , weil man den Flächeninhalt des Deltoids im Allgemeinen nicht mit A = a · b berechnen kann. Rechengang B , weil die angegebenen Rechenwege für die Teilstrecken x und y falsch sind, und Rechengang C , weil das Dreieck, das von den beiden Seiten a und b und der Diagonale e des Deltoids gebildet wird, im Allgemeinen nicht rechtwinklig ist. a x x h e c h b d A B C D Nur Ô zu 2 Prüfzwecken 2 ; A = a h h c : 2 · √ a a 2 h h √ __ 3 Ô a 2 = A · 4 ____ √ __ 3 Ô h 2 = a 2 – Ô Eigentum 2 2 = 1056,25. = p · q Ô q = h 2 2 des a 2 Verlags ächen öbv h a c : √ _________ ( c __ 2 ) 2 + h h c 2 2