Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 10 17) 1) Klasse A: _ x = 3, x = 3; Klasse B: ˜ _ x = 3, x = 3 ˜ Kein Unterschied bei _ x und ˜x. 2) Klasse A: Minimum: 1, Maximum: 5, q 1 = 2, q 2 = 3, q 3 = 4 1 A 5 Klasse B: Minimum: 1, Maximum: 5, q 1 = 1,5, q 2 = 3, q 3 = 4 1 B 5 3) a) Klasse A: (1 − 3) 2 · 1 + ( 2 − 3 ) 2 · 7 + (3 − 3) 2 · 9 + (4 − 3) 2 · 5 + (5 − 3) 2 · 2 _____________________________________________ 24 = 1 Klasse B: (1 − 3) 2 · 6 + (2 − 3) 2 · 3 + (3 − 3) 2 · 5 + (4 − 3) 2 · 5 + (5 − 3) 2 · 5 _____________________________________________ 24 = 13 ___ 6 b) Klasse A: s = √ __ 1 = 1; Klasse B: s = √ ___ 13 ___ 6 = 1,47… Dh: Die Streuung der Noten ist in Klasse B größer als in Klasse A. c) Die Differenz x – _ x kann positiv und negativ sein, wodurch die Summenbildung zu falschen Ergebnissen führt. 18) 1) _ x = 40,05 mm, s = 0,128… 2) zu kurz: 2 Bolzen, durchschnittlich um 0,15 mm; 3) zu lang: 5 Bolzen, durchschnittlich um 0,16 mm 4) Ausschuss: 4 Bolzen … 40% 19) D: Die Hälfte der Werte ist kleiner oder gleich 50. C: Die Verteilung ist symmetrisch. E: Die Hälfte der Werte liegt zwischen 50 und 100. B: Die Verteilung ist breit; die Streuung ist groß. A: Ein Viertel der Werte liegt zwischen 70 und 110. Merkenswertes – Statistik (Seite 39) n Wichtige Kennzahlen bei der Beschreibung von Daten sind Mittelwerte und Streumaße . Zu den Mittelwerten zählen das arithmetische Mittel _ x, der , Median x und der ˜ Modus . n Das arithmetische Mittel einer Zahlenreihe berechnet man, indem man die Summe dieser Werte durch die Anzahl der Werte dividiert. Sind zur Be- rechnung des arithmetischen Mittels die relativen Häufigkeiten der Werte gegeben, so spricht man von einem gewichteten Mittel. Der Median Zentralwert genannt, ist bei einer ungeraden Anzahl von Zahlen der Wert in der Mitte der geordneten Zahlenreihe. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte liegenden Zahlenwerte. Der häufigste Wert einer Zahlenreihe heißt Modalwert oder Modus. n Nicht jeder Mittelwert ist in allen Fällen gleich gut zur Beschreibung ei- ner Datenreihe geeignet. So beeinflussen Werte am Rand einer Datenreihe, so genannte „Ausreißer“ das arithmetische Mittel stärker. Will man die Wir- kung dieser Werte reduzieren, ist die Verwendung des Medians geeigneter. Der Modalwert ist dann aussagekräftig, wenn er weit öfter als alle anderen Werte auftritt. n Der Median teilt die Werte einer geordneten Liste in zwei Hälften. Man kann auch sagen, dass der Median x die 50%-Grenze der Daten markiert. Nun kann man auch die 25%-Grenze einer Datenreihe angeben, also jene Grenze, unter der ein Viertel der Daten liegt, genannt 1. Quartil q . Diesen Wert erhält man, wenn man die Anzahl der Daten mit 0,25 multipliziert und das Ergebnis auf Ganze rundet. Entsprechendes gilt für die 75%-Grenze, das 3. Quartil q 3 . n Zeichnet man einen „Kasten“ mit den Grenzen q 1 und q 3 und einer Un- terteilung bei ˜x = q 2 mit „Verlängerungsarmen“ bis zum Minimum und bis zum Maximum der Zahlenreihe, so erhält man ein Diagramm, den Boxplot (Kastenschaubild). Aus diesem Diagramm kann die Verteilung der Daten gut erkannt werden. Ein großer Abstand zwischen q 1 und q 3 bedeutet eine große Streuung der Daten. Die Streuung kann auch durch die durchschnittliche quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel, genannt Varianz, q angegeben werden. Die Quadratwurzel der Varianz heißt Standardabweichung. Lösungstext: „ES GIBT NUR EINS, WAS AUF DAUER TEURER IST ALS BILDUNG, KEINE BILDUNG!“ John F. Kennedy A WIEDERHOLUNG UND VERTIEFUNG 1 Dreiecke 2 Vierecke 3 Ähnliche Figuren (Seite 40, 41) 1) a) a ≈ 8,6 cm A B h b h c c a C b) h a ≈ 6,4 cm A = a · h a _____ 2 ≈ 27,52 cm 2 h b ≈ 8,1 cm A = b · h b _____ 2 ≈ 27,135 cm 2 h c ≈ 6,0 cm A = c · h c ____ 2 ≈ 27,3 cm 2 c) Der arithmetische Mittelwert der drei Ergebnisse beträgt A ≈ 27,3 cm 2 . 2) h b = 7,2 cm 3) Der Flächeninhalt des Rechtecks ABDE ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ABC. Da der Flächeninhalt des abgebildeten Rechtecks durch A = c · h c berech- net werden kann, folgt für das Dreieck ABC: A = c · h h c ____ 2 . 4) A ΔABC ΔBDC = ( c + x ) · h ________ 2 + x · h c ____ 2 – x · h c ____ 2 = c · h c ____ 2 Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist genau so groß wie die Differenz der Flächeninhalte der beiden rechtwinkligen Dreiecke ADC und BDC. enn man die in der Abbildung verwendeten Variablen einsetzt und die entstehenden Terme ausmultipliziert bzw. vereinfacht, erhält man die gesuchte Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks: 5) eindeutig konstruierbar: A, B, D, E, G, J nicht eindeutig konstruierbar: C, F, H, I 6) a) Der Rhombus hat vier gleich lange Seiten. Die Seitenlänge ist daher ein Viertel des Umfanges. Den Flächeninhalt kann man mit „A = Seite mal Höhe“ berechnen. Daher erhält man die Höhe als Quotient aus Flächeninhalt und Seitenlänge. b) a = 11 cm, h a = 9 cm 7) a) ΔAEH ~ ΔBEG ~ ΔDEF b) ___ AB : ___ DE = ___ HG : ___ FE ___ BD : ___ GF = ___ DE : ___ FE ___ DF : ___ DE = ___ BG : ___ BE ___ AH : ___ BG = ___ AE : ___ BE 8) a) ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1 , weil die Längen einander entsprechender Seiten im selben Verhältnis stehen (a : a 1 = b : b 1 = c : c 1 = 3 : 2) b) ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1 , weil einander entsprechende Winkel gleich groß sind ( α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 ) 9) a) b 1 : b = 6,3 : 4,9 = 63 : 49 = 9 : 7 a 1 : a = b 1 : b Ô a 1 : 6,3 = 9 : 7 Ô a 1 = 8,1 cm c 1 : c = b 1 : b Ô c 1 : 7,7 = 9 : 7 Ô c 1 = 9,9 cm b) u 1 = a 1 + b 1 + c 1 = 24,3 cm u = a + b + c = 18,9 cm u 1 : u = 24,3 : 18,9 = 243 : 189 = 81 : 63 = 9 : 7 10) a) Verwendet man den Eckpunkt C 1 als Ähnlichkeitszentrum, muss man noch die Höhe h c h c h 1 einzeichnen und auf die Länge h c = 6,3 cm verlän- gern (Fußpunkt F). Schneidet man die Parallele zu c 1 durch den Fuß- punkt F mit den Verlängerungen der Seiten a 1 und b 1 , so erhält man das gesuchte Dreieck ABC. b) (verkleinert) C 1 h c A 1 B 1 F A B =C c) Messung: a ≈ 7,0 cm, c ≈ 9,7 cm 7,0 : 9,7 = 0,721… 5 : 7 = 0,714… Nur ˜ e e zu Prüfzwecken , , , auch F F = A ΔABD – A W – Eigentum 1 e e q q des Verlags h h c – x · h h c ____ 2 = = c · h h c ____ 2 D öbv b h a h h h h