Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 8 10) a) keine Lösung; die Geraden sind parallel. b) unendlich viele Lösungen; die Geraden fallen zusammen. c) eine Lösung; die Geraden schneiden einander. d keine Lösung; die Geraden sind parallel. 11) a) 5x + (–2x + 10) = 22 c) 3c + 15c – 15 = 21 3x = 12 x = 4, y = 2 18c = 36 c = 2, d = 3 b) 5a – a + 4 = 16 d) 2v + v + 4 = 7 4a = 12 a = 3, b = 0,5 3v = 3 v = 1, u = 5 12) a) 11x – 3y = –2y + 9 c) 2d + 8 = 5d + 17 y = 2 x = 5, y = 2 3d = –9 c = 2, d = –3 b) –4b – 5 = –7b – 11 d) –6u + 31 = –3u + 16 3b = –6 a = 1, b = –2 15 = 3u u = 5, v = 1 13) a) x = 3, y = 2 b) a = 3, b = 0,5 c) c = –2, d = 3 d) u = 0,1, v = 0,3 14) a) L = {(4 |–4)} b) L = {(3 |1)} c) L = {(–5 |–4,5)} d) L = {(2 |4)} 15) a) L = {(3 |–2)} b) L = {(4 |1)} 16) a) x ≠ –5, 10; y ≠ –9, –3; L = {(20 |6)} b) x ≠ 1, 3; y ≠ 3, 5; L = { } 17) Es wurden 240 1 €- und 180 2 €-Münzen gesammelt. I: x + y = 420 II: x + 2y = 600 x = 240, y = 180 18) Es werden 10 Kartons zu 6 und 5 Kartons zu 10 Stück benötigt. I: x = 2y II: 6x + 10y = 110 x = 10, y = 5 19) Es gibt 15 Dreibett- und 20 Fünfbettzimmer. I: x + y = 35 II: 3x + 5y = 145 x = 15, y = 20 20) Der eine Mann trägt 5 Säcke, der andere 7 Säcke. I: x + 1 = y – 1 II: 2(x – 1) = y + 1 x = 5, y = 7 21) Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt 2,75 m/s, die Strömungsge- schwindigkeit des Flusses 1,25 m/s. I: x + y = 4 II: x – y = 1,5 x = 2,75; y = 1,25 22) Die beiden ursprünglichen Zahlen sind 10 und 25. I: x : y = 2 : 5 II: (x + 5) : (y + 2) = 5 : 9 x = 10, y = 25 23) Das erste Rechteck hat 738 cm 2 Flächeninhalt, das zweite 868 cm 2 . I: 2(x + y) = 118 II: (x + 21)(y – 4) = xy + 130 x = 41, y = 18 Merkenswertes – Lineare Gleichungen mit zwei Variablen (Seite 30) n Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y (x, y ) hat die Form: ax + by = c (a, b, c ∈ ℝ ; a, b nicht beide null). Eine solche Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. Lösungen sind jene geordneten Zahlenpaare (x |y), die die Gleichung erfüllen. Die graphische Darstellung der Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gerade. Bei einer linearen Gleichung sind folgende Sonderfälle möglich: a = 0, b ≠ 0: zB 5y = 25 Ô y = 5 Die Gerade ist eine Parallele zur x-Achse. a ≠ 0, b = 0: zB 4x = 12 Ô x = 3 Die Gerade ist eine Parallele zur y-Achse. Beachte, dass im zweiten Fall keine Funktion vorliegt! n Ein lineares Gleichungssystem besteht zumindest aus zwei linearen Glei- chungen mit zwei Variablen. Ein solches System hat im Allgemeinen ein ein- ziges Zahlenpaar als Lösung. In diesem Fall haben die beiden Geraden genau einen Schnittpunkt. Es kommt aber auch vor, dass zwei Gleichungen mit zwei Variablen unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung haben. Unendliche viele Lösungen: ZB: I: 3x – y = 5 Die Geraden sind zusammenfallend und haben II: –9x + 3y = –15 daher unendlich viele Punkte gemeinsam. Die Gleichungen sind äquivalent. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen; es besteht eigentlich nur aus einer Gleichung mit zwei Variablen. L = {(x |y); x, y ∈ ℝ |y = 3x – 5} Keine Lösung: ZB: I: 2x + 3y = 6 Die Geraden sind parallel und haben daher keinen II: 2x + 3y = 2 Schnittpunkt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. In diesem System soll 2x + 3y einer- seits gleich 6, andererseits gleich 2 sein. Kein Zahlenpaar kann beide Forde- rungen zugleich erfüllen. L = { } n Für viele Aufgaben ist das graphische Lösungsverfahren nicht gut geeig- net. Bei rechnerischen Lösungsverfahren trachtet man danach, aus den bei- den Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten. Drei Methoden sind gebräuchlich: 1) Einsetzungsmethode (Substitutionsmethode) 2) Gleichsetzungsmethode (Komparationsmethode) 3) Methode der (gegen-)gleichen Koeffizienten (Eliminationsverfahren) Lösungstext: SAGE ES MIR, UND ICH VERGESSE ES; ZEIGE ES MIR, UND ICH ERINNERE MICH; LASS ES MICH TUN, UND ICH BEHALTE ES. Konfuzius F ANWENDUNGEN IN NATURWISSENSCHAFT UND TECHNIK 1 Anwendungen in der Physik (Seite 31, 32) 1) 1) Fallzeit 1 s 2 s 3 s 5 s 10 s 20 s Fallhöhe (in m) 5 20 45 125 500 2000 2) s Fallzeit 0 2 3 4 5 1 20 40 60 80 100 120 m „Fallhöhe” 2) 1) a) 13,8 m/s b) 36,1 m/s 2) a) 1,38 s; 9,6 m b) 3,61 s; 65,2 m 3) a) 2-stöckiges Haus b) halber Turm des Stefansdomes 3) a) b) 90 W 4) 90000 s = 25 h 5) 1200 kWs = 1 __ 3 kWh 6) Querschnitt der Erde: 1,28 ∙ 10 m 2 ; Energie/s auf den Erdquerschnitt: 1,748 ∙ 10 17 W; Querschnitt der Erde, weil nur die Hälfte der Erdober- fläche von der Sonne beschienen wird. 7) Kugeloberfläche: 2,827 ∙ 10 23 m 2 , Strahlungsleistung: 3,865 ∙ 10 26 J/s 8) 1) __ b = g · f ____ g – f 2) b = 420 cm = 4,2 m 4) f = 24 cm 3) g (cm) 40 30 25 23 22 21 20 b (cm) 40 60 100 153,3 220 420 – Kein (reelles) Bild bei g ⩽ 20 cm b g cm 10 0 100 200 300 400 cm 20 30 40 2 Bewegungsaufgaben 3 Mischungsaufgaben (Seite 32) 9) Auto 1: s = 100 ∙ t Auto 2: s = 120 ∙ (t – 1 __ 4 ) Ô t = 1 1 __ 2 h, also um 13:30 Uhr; 150 km von Linz entfernt 10) Treffpunkt: 5 t + 19 (t – 1) = 11; 4,75 km von Neuberg entfernt, um 7:15 Uhr 11) Menge Gehalt in % reiner Alkohol Probe 60 l 75% 60 ∙ 0,75 = 45 45 90 l 50% 50 ∙ 0,90 = 45 45 150 l x% 150 ∙ x ____ 100 = 90 150 ∙ 0,60 = 90 Der Alkoholgehalt ist 60%. 12) Sole Salzgehalt Salz in kg Probe 300 kg 6 300 ∙ 0,06 = 18 18 x 0 x ∙ 0 = 0 0 300 – x 18 (300 – x) ∙ 0,18 = 18 100 ∙ 0,18 = 18 200 kg (l) Wasser müssen entzogen werden. Nur zu Prüfzwecken ∈ ℝ 180 W e b e b – Eigentum des Verlags 14 e b e b 1 g – f ____ g · f Ô b = öbv