Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 5 57) a) Höhe im gleichseitigen Dreieck; a = 2h ___ √ __ 3 b) Berechnung der Schenkellänge a im gleichschenkligen Dreieck; h = √ ________ a 2 – ( c __ 2 ) 2 ; c = 2 · √ _______ a 2 – h 2 c) Volumen des Drehkegels; h = 3V ___ r 2 π ; r = √ ___ 3V ___ h π 58) a) x = ab – 2,5 b) x = √ _______ 5 __ 3 b – a __ 6 c) x = 1 ____ 6ab d) x = (a + b) 2 ______ 16 – 1 59) a) a ⩾ –2; L = {a ∈ ℝ |a ⩾ –2} d) d ⩽ –16; L = {d ∈ ℝ |d ⩽ –16} b) b > 6; L = {b ∈ ℝ |b > 6} e) e ⩽ 10; L = {e ∈ ℝ |e ⩽ 10} c) c ⩽ 9 __ 4 ; L = { c ∈ ℝ |c ⩽ 9 __ 4 } f) f > 4,5; L = {f ∈ ℝ |f > 4,5} 60) a) L = {x ∈ ℝ |x < 17} 0 17 10 20 b) L = { y ∈ ℝ |y > 1 __ 3 } 0 1 1 3 c) L = { z ∈ ℝ |z > – 1 __ 7 } 0 - 1 1 7 d) L = {x ∈ ℝ |x < 2,25} 0 1 2,25 61) Ungleichung: 2x > 3x – 4 Antwort: Die Zahl ist kleiner als 4. 62) Ungleichung: x __ 3 + 10 > 2x – 1 Antwort: Die Zahl ist kleiner als 6,6. 63) Ungleichung: 1,2 + 0,12x < 3,7 Antwort: höchstens 20 Balken 64) Ungleichung: 20 · 0,15x ⩾ 35 Antwort: mindestens 12 DVDs 65) Ungleichung: 150 + 1,42x < 220 Antwort: höchstens 49 l. Merkenswertes – Algebra (Seite 20) n Das Herausheben und das Ausmultiplizieren von Termen sind entgegen- gesetzte Rechenoperationen. Durch das Herausheben bzw. Zerlegen wird aus einer Summe (Differenz) ein Produkt, umgekehrt wird durch das Aus- multiplizieren aus dem Produkt eine Summe (Differenz). Die binomischen Formeln können in beide Richtungen verwendet werden. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b)(a + b) = a 2 – b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 n Für das Rechnen mit Bruchtermen gelten dieselben Rechenregeln wie für das Rechnen mit Bruchzahlen: Bruchterme mit gleichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner gleichlässt. Bruch- terme mit verschiedenen Nennern werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie auf gleichen Nenner bringt und dann die Zähler addiert bzw. sub- trahiert. Bruchterme werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Bruchterme werden dividiert, indem man den ersten Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert.Vor dem Ausmultiplizieren ist es wichtig, Zähler und Nenner durch Zerlegen bzw. Herausheben und Kürzen zu ver- einfachen. n Wenn wir eine Gleichung lösen, suchen wir für die Unbekannte jene Zahl, die die Gleichung erfüllt. „Eine Ungleichung lösen“ heißt, für die Variable jene reellen Zahlen zu ermitteln, die die Ungleichung erfüllen. Die lineare Gleichung ax + b = c hat für a ≠ 0 genau eine Lösung, während die zugehörige lineare Ungleichung ax + b < c unendlich viele Lösungen hat, so- dass man bei Ungleichungen von einer Lösungsmenge L mit im Allgemeinen mehr als einem Element spricht. Die Unbekannte in Gleichungen und der Bereich für die Variable in Un- gleichungen mit einer Unbekannten kann durch sinnvolles Probieren, durch Rückgängigmachen der Rechenoperationen oder durch Äquivalenzumfor- mungen ermittelt werden. Beachte aber: Beim Multiplizieren einer Un- gleichung mit einer negativen Zahl bzw. beim Dividieren durch eine negative Zahl muss das Ungleichheitszeichen „umgedreht“ werden. Auch das Anwenden des Vertauschungsgesetzes, des Verbindungsgesetzes und des Verteilungsgesetzes (Auflösen von Klammern usw.) sind Äquivalenz- umformungen. Lösungstext: DIE MATHEMATIK ALS FACHGEBIET IST SO ERNST, DASS MAN KEINE GELEGENHEIT VERSÄUMEN SOLLTE, DIESES FACHGEBIET UNTERHALTSAMER ZU GESTALTEN. Blaise Pascal D FUNKTIONEN 1 Zuordnungen, Tabellen und Graphen (Seite 21) 1) Der Aufzug steht 4 Sekunden im 3. Stockwerk. Dann fährt er 2 s aufwärts in den 4. Stock, wo er 1 s lang steht. Anschließend fährt er mit der gleichen Geschwindigkeit wie vorher ohne stehen zu bleiben 3 s lang aufwärts in den 6. Stock. Dort steht er 5 s, um danach 8 s lang abwärts in den 1. Stock zu fahren. Im 1. Stock steht er dann. 2) a) 1. C ; 2. A ; 3. C , D ; 4. B ; 5. D ; 6. A , B , C ; 7. B ; 8. A b) Weil die Regentonne bereits um 23:00 Uhr voll ist. 3) 1) Abbildungen B und C zeigen den Graph einer Funktion. 2) A und D sind keine Funktionsgraphen, weil es x-Werte gibt, denen mehrere y-Werte zugeordnet sind. 2 Funktionsgleichungen – Funktionsterme (Seite 22, 23) 4) 1) 5 10 15 20 25 30 s t 0 50 100 150 200 250 300 350 m h 2) In 5 s sinkt der Fallschirm um 20 m. h(t) = 330 – 4t 3) Der Fallschirm- springer erreicht nach ca. 57 s eine Höhe von 100 m. 5) a) b) x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) g 1 (x) g 2 (x) g 3 (x) –5 –2,5 –7,5 7,5 –3 –7 7 –4 –2 –6 6 –2 –6 6 –3 –1,5 –4,5 4,5 –1 –5 5 –2 –1 –3 3 0 –4 4 –1 –0,5 –1,5 1,5 1 –3 3 0 0 0 0 2 –2 2 1 0,5 1,5 –1,5 3 –1 1 2 1 3 –3 4 0 0 3 1,5 4,5 –4,5 5 1 –1 4 2 6 –6 6 2 –2 5 2,5 7,5 –7,5 7 3 –3 6) x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) –3 11 5 –7 –2 6 0 –2 –1 3 –3 1 0 2 –4 2 1 3 –3 1 2 6 0 –2 3 11 5 –7 0 f 1 f 2 f 3 y x 1 2 3 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 -2 -4 0 y x 1 5 -1 1 5 -1 -5 f 1 g 1 g 2 g 3 f 2 f 3 Nur zu Prüfzwecken D – Eigentum des Verlags öbv