Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 4 4 Bruchterme (Seite 14–16) 26) a) 3 ___ 5a 2 ; a ≠ 0 c) z __ 3 ; z ≠ 0 e) 1 __ 4 ; u ≠ 0 b) 8x ___ 7y ; x ≠ 0, y ≠ 0 d) 1 ___ 13s ; s ≠ 0 f) w ___ 7v ; v ≠ 0, w ≠ 0 27) a) 4(2x – y) _______ 16x = 2x – y _____ 4x ; x ≠ 0 c) 2ab(3a – 5b) ___________ 30ab = 3a – 5b ______ 15 ; a ≠ 0, b ≠ 0 b) 2(3u – 2u) _________ 112v = 3u – 2v ______ 56v ; v ≠ 0 d) 6s(2s – 3t) _________ 3st = 2(2s – 3t) ________ t ; s ≠ 0, t ≠ 0 ; 28) a) (2x – y)(2x + y) ____________ 3(2x + y) = 2x – y _____ 3 ; x ≠ – y __ 2 , y ≠ –2x b) 3(y – 5)(y + 5) ___________ 4(y – 5) = 3(y + 5) ______ 4 ; y ≠ 5 ; c) 2z(z – 4)(z + 4) ____________ 6z(z + 4) = z – 4 ____ 3 ; z ≠ 0, –4 ; 29) Paul hat beide Faktoren des Zählers durch 4 dividiert; richtiges Ergebnis: 6(x 2 – 2y) ________ x 30) a) x 2 + xy – xy + y 2 ____________ 4xy = x 2 + y 2 _____ 4xy ; x ≠ 0, y ≠ 0 b) 3a + 3 – 3 + a + 2a 2 – 4a ___________________ 2a 2 = 2a 2 ___ 2a 2 = 1; a ≠ 0 31) a) 5z – 15 – 4 + 4z ____________ 3(2z – 3) = 9z – 19 _______ 3(2z – 3) ; z ≠ ; 3 __ 2 b) 5u – 8 – 18u + 30 ______________ 7(2 – u) = –13u + 22 ________ 7(2 – u) ; u ≠ 2 32) a) x – 1 – x _______ x(x – 1) = –1 ______ x(x – 1) ; x ≠ 0, 1 ; b) 9a – 16a + 12a ____________ 3 · 4(a – 1) = 5a _______ 12(a – 1) ; a ≠ 1 c) 9z 2 + 24 – 9z 2 + 15z – 4 __________________ 3(3z – 4)(3z + 4) = 5(3z + 4) _____________ 3(3z – 4)(3z + 4) = 5 ________ 3(3z – 4) ; z ≠ 4 __ 3 , – 4 __ 3 d) u – 3 – 2u – u – 3 _____________ u(u – 3)(u + 3) = –2(u + 3) ___________ u(u – 3)(u + 3) = –2 _______ u(u – 3) .; u ≠ 0, 3, –3 33) a) 36x 3 y 4 ; b) 50a 5 b 4 ; c) 28x 2 y 2 (x 2 – y 2 ); d) 3a(a 2 – 16) 34) a) x + 4 ____ x – 3 = x 2 + 7x + 12 _________ x 2 – 9 ; erweitert mit x + 3 b) b + 1 _____ _ b – 1 = 3(b + 1) 2 _______ 3b 2 – 3 ; erweitert mit 3(b + 1) c) 3z _____ 2z – 5 = 12z(2z + 5) _________ 16z 2 – 100 ; erweitert mit 4(2z + 5) d) y _____ 2x + y = 4x 2 y ________ 8x 3 + 4x 2 y ; erweitert mit 4x 2 e) 2a ______ 2a – 3b = 2a 2 (2a + 3b) __________ 4a 3 – 9ab 2 ; erweitert mit a(2a + 3b) f) u 2 ______ 5v – 3u = u 2 v 2 ________ 5v 3 – 3v 2 u ; erweitert mit v 2 35) a) 5 __ 6 ; a ≠ 0 c) z(1 – z); z ≠ 0, –1 b) 5 _____ 14ab ; a ≠ 0, b ≠ 0 ; d) 27v 2 (v – 3); v ≠ 0, –3 36) a) 5x – 2x 3 ; x ≠ 0 d) 2x + 4; x ≠ – 7 __ 5 b) 3a – 27b; a ≠ 0, b ≠ 0 e) a – 3b; a ≠ 5 __ 9 b c) 5yz 2 – 4y 2 ; y ≠ 0, z ≠ 0 f) + 2vw + w 2 ; w ≠ 2v 37) a) –3xy _____ 2 ; x ≠ 0, y ≠ 0 c) 1 ___ 4z ; z ≠ 0, v ≠ 0 b) 2b ___ 3 ; a ≠ 0, b ≠ 0 d) – 8 __ c ; c ≠ 0, d ≠ 0 38) a) (y – 1)(y – 3) __________ 3 ; y ≠ –1, –3 c) ; z ≠ 2, 3, –3 b) 5q(p – q) ________ 2(p + q) ; p ≠ 0, p ≠ –q d) 2 , – 3 __ 2 39) a) 4(2x + 3); x ≠ – 2 __ 3 c) __ b 2 ; b ≠ 0 b) y + 5 ____ 2 ; y ≠ 5 d) ___ b 2 – 4; b ≠ 0 40) a) –b(a – b) ________ a ; a, b ≠ 0; a ≠ ±b b) a + 2b ______ 2 ; a, b ≠ 0; a ≠ 2b 5 Gleichungen und Ungleichungen (Seite 16–19) 41) a) 2x – 3 = x __ 5 + 15 I + 3 c) x __ 4 – 5 – 2x _____ 3 + 4 = 3x ___ 2 I · 12 2x = x __ 5 + 18 I – x __ 5 3x – 20 + 8x + 48 = 18x I –11x 9x ___ 5 = 18 I · 5 __ 9 28 = 7x I : 7 x = 10 Probe: 17 x = 4 Probe: 6 b) 7 – y + 1 ____ 4 = – y I · 4 d) y + 2 ____ 3 – y – 2 ____ 6 = 9 __ 2 – y __ 4 I · 12 28 – (y + 1) = – 4y I – 27 + 4y 4y + 8 – 2y + 4 = 54 – 3y I + 3y – 12 3y = –27 I : 3 5y = 42 I : 5 y = –9 Probe: 9 y = 8,4 Probe: 2,4 42) a) a = –1; Probe: –46 c) c = 1; Probe: 14 b) b = 2; Probe: –29 d) d = 1; Probe: 10 43) a) x ≠ 0, –4; x = 12; Probe: 1 ___ 12 c) z ≠ 0, 1, –2; z = 2; Probe: 3 __ 4 b) y ≠ 0, –1, –4; y = 2; Probe: 2 __ 3 d) v ≠ 0,2; v = 0,5; Probe: 5 __ 3 44) a) x = 10p; Probe: 36p c) x = –2a; Probe: 10a e) x = m 2 ; Probe: m 3 – m 2 b) x = 2q; Probe: 15q d) x = b; Probe: 3b f) x = a + b; Probe: a 2 45) a) Nenner Hauptnenner Erweiterungsfaktoren 6x 2 – 2x = 2x(3x – 1) 3x – 1 2x(3x – 1) 2x x x ≠ 0, 1 __ 3 2(3x – 1) 5x – 3 – 6x – 10x = –6x 2 – 4x + 2 Probe: Linke Seite: –4 ___ 5 ; Rechte Seite: –4 ___ 5 –5x – 3 = –4x + 2 –x = 5 x = –5 b) Nenner Hauptnenner Erweiterungsfaktoren 3y – 6 = 3(y – 2) 2y(y + 2) 6y 2 + 12y = 6y(y + 2) 6y(y – 2)(y + 2) (y – 2) 3y 2 – 12 = 3(y = 3(y – 2)(y + 2) y ≠ 0, 2, –2 2y 2y(3y – 1)(y + 2) – (10y + 3)(y – 2) = 2y(3y 2 + 7) 6y – 4y – 10y 2 + 17y + 6 = 6y 3 + 14y Probe: Linke Seite: 115 ____ 96 ; Rechte Seite: 115 ____ 96 13y + 6 = 14y y = 6 46) a) x ≠ 0, 3; x = –6; Probe: –1 ___ 6 c) z ≠ 10, –10; z = 0; Probe: 1 __ 5 b) y ≠ 0, 1 __ 2 ; y = 3; Probe: 17 ___ 5 d) v ≠ 3, –3; v = 9; Probe: 1 __ 6 47) 2 · A Trapez + 2 · A Dreieck = 150 6(x + 8 + x) + 6 · 7 = 150 12x + 48 + 42 = 150 12x = 60 x = 5 Ô A = 13 · 7 = 91 m 2 48) I: E Die Länge des Rechtecks ist (x + z), die Breite y. II: F Die eine Seite des Rechtecks ist (a + b), die andere (c + d). III: G Die Länge des Rechtecks ist (q + r + s), die Breite p. IV: F Die eine Seite des Rechtecks ist (f + g), die andere (e + h). Zu H passt keine der vier Formeln. 49) 3x – 13 = x __ 3 + 11; Die Zahl lautet 9. 50) x – 3 ____ 2 = x __ 4 + 3,25 Die Zahl lautet 19. 51) x __ 2 + x + 3x ___ 2 = 150000 · 994 ____ 1000 Erster Erbe: 24850 €, zweiter Erbe: 49700 €, dritter Erbe: 74550 € 52) 0,45x – 6500 = 0,125x; 1.Preis: 9000 €, 2. Preis: 5000 €, 3. Preis: 3 000 €, 4. Preis: 3000 €. 53) (c – 2)(c – 4) _________ 2 = c 2 __ 2 – 20 Seite: 8 cm, Höhe: 8 cm 54) (h + 0,5) · 35 = h · 24 + 56; Höhe des größeren Aquariums: 4 dm = 40 cm, Höhe des kleineren Aquariums: 3,5 dm = 35 cm 55) 50x – 25(18 – x) = 600 Felix löste 14 Aufgaben richtig, 4 Aufgaben hatte er falsch. 56) 1) I: Von der Fläche des großen Rechtecks wird die des kleinen Recht- ecks abgezogen. II: Die Figur wird waagrecht in zwei Rechtecke unterteilt und deren Flächen addiert. III: Die Figur wird durch einen waagrechten und einen senkrechten Strich in drei Rechtecke zerlegt und deren Flächen berechnet. 2) A = y(x – a) + a(y – b) 3) Umgeformt ergibt sich bei allen Formeln xy – ab. Nur 4v 2 ; ; ; ; zu Prüfzwecken 2 – Eigentum ; ; ; ; 4(z + 3) __________ (z – 3)(z – 2) ; ; ; ; ; ; 2b + 3 ______ 2b – 3 ; b ≠ ; 3 __ , , a 2 __ 4 – 4 b b ; ; ; ; 4a 2 b b des Verlags = = 2 – 4) = 3 + 10y 2 öbv 1