Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

LÖSUNGEN 2 B REELLE ZAHLEN 1 Quadratwurzeln (Seite 6) 1) a) √ ___ 25 = 5, weil 5 2 = 25 ist. b) √ ____ 100 = 10, weil 10 2 = 100 ist. 2) a) 7,0711 b) 31,6228 c) 15,8114 3) a) 4 < √ ___ 18 < 5, weil 4 2 = 16, 5 2 = 25 c) 8 < √ ___ 72 < 9, weil 8 2 = 64, 9 2 = 81 b) 6 < √ ___ 40 < 7, weil 6 2 = 36, 7 2 = 49 d) 10 < √ ____ 120 < 11, weil 10 2 = 100, 11 2 = 121 4) a) √ _______ 4 · 100 = 2 ∙ 10 = 20 e) √ ______ 2500 _____ 10000 = √ __ 1 __ 4 = 1 __ 2 b) √ ________ 36 ∙ 100 = 6 ∙ 10 = 60 f) √ ____ 49 ____ 900 = 7 ___ 30 c) √ __________ 16 ∙ 10000 = 4 ∙ 100 = 400 g) √ _______ 36 ∙ a 2 = 6a d) √ ______ 4 ∙ 49 = 2 ∙ 7 = 14 h) √ __________ 64 ∙ a 2 · b 2 = 8ab i) √ __________ 25 ∙ x 4 · y 2 ∙ 5x 2 y 5) a) √ _____ 4 ∙ 2 = 2 ∙ √ __ 2 d) √ _____ 9 ∙ 5 = 3 ∙ √ __ 5 g) √ ______ 49 ∙ 2 = 7 ∙ √ __ 2 b) √ _____ 9 ∙ 3 = 3 · √ __ 3 e) √ ______ 25 ∙ 2 = 5 ∙ √ __ 2 h) √ ______ 36 ∙ 3 = 6 ∙ √ __ 3 c) √ ______ 16 ∙ 2 = 4 ∙ √ __ 2 f) √ ______ 36 ∙ 2 = 6 ∙ √ __ 2 6) a) y ∙ √ __ 5 c) a 2 ∙ √ ___ 10 e) 2a √ __ 2 g) 5ab √ __ 2 b) z ∙ √ __ _ 3 d) 5 ∙ √ __ b f) 6b √ __ a h) 4a √ ___ 2b 7) a) √ ___ 25 = 5; 3 + 4 = 7 d) √ ____ 169 = 13; 12 + 5 = 17 b) √ __ 9 = 3; 5 – 4 = 1 e) √ ___ 64 = 8; 10 – 6 = 4 c) √ ____ 100 = 10; 6 + 8 = 14 f) √ ____ 256 = 16; 20 – 12 = 8 8) Rationale Zahlen lassen sich im Gegensatz zu den irrationalen Zahlen in Bruchform schreiben. Rationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen oder periodische Dezimalzahlen; irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen ohne Periode. 9) a) 2 + 5 = 7 r c) 2 ∙ √ __ 2 – 2 ∙ √ __ 2 = 0 r e) √ _____ 2 ∙ 8 = √ ___ 16 = 4 r b) 3 ∙ √ __ 3 i d) –3 ∙ √ __ 3 + 3∙ √ __ 3 = 0 r f) – √ __ 5 − √ __ 2 _______ √ __ 5 − √ __ 2 = – 1 r 10) A Rechteck = A Quadrat = 196 cm 2 Ô s = 14 cm 11) 1) 5,656… 2) 6,928… 3) 8 12) Länge der Quadratseite 4 √ __ 2 5 3 √ __ 2 √ ___ 20 10 6 20 6 √ Länge der Diagonale 8 5 √ __ 2 6 2 √ ___ 10 √ ____ 200 6 √ __ 2 20 √ 5 13) a = 298 mm, b = 211 mm b) a = 150 mm 14) a) ZB: √ _____ 4 + 1 b) ZB: √ _____ 9 + 9 √5 2 1 √18 3 3 15) a) 12 = 16 – 4 c) e) 34 = 25 + 9 g) 48 = 49 – 1 b) 13 = 9 + 4 d) 29 = 25 + 4 f) 35 = 36 – 1 h) 68 = 64 + 4 16) a) – √ ___ 20 = – √ ______ √ 16 + 4 ≈ –4,5 (cm) c) 36 − 1 ≈ –5,9 (cm) b) √ ___ 24 = √ ______ _ 25 − 1 ≈ 4,9 (cm) √20 4 2 √24 √35 6 1 0 -1 +1 -√20 √24 -√35 2 Kubikwurzeln (Seite 8) 17) a) 3 √ ___ 64 = 4, weil 4 3 = 64 ist. b) 3 √ _____ 8000 = 20, weil 20 3 = 8000 ist. 18) a) 2 < 3 √ ____ 20 < 3, weil 2 3 = 8, 3 3 = 27 b) 4 < 3 √ ____ 100 < 5, weil 4 3 = 64, 5 3 = 125 c) 5 < 3 √ ____ 200 < 6, weil 5 3 = 125, 6 3 = 216 d) 7 < 3 √ ____ 400 < 8, weil 6 3 = 343, 8 3 = 512 19) a) 3 √ _______ 27000 = 3 √ ____ 27 ∙ 3 √ _____ 1000 = 30 b) 3 √ ________ 125000 = 3 √ ____ 125 ∙ 3 √ _____ 1000 = 50 20) 1) geschätzt: 8 dm 2) berechnet: V = m __ ρ = 153,6 _____ 300 m 3 = 0,512 m 3 = 512 dm 3 Ô s = 3 √ ____ 512 dm = 8 dm 3 Überblick über die Zahlenbereiche (Seite 8) 21) 22) Zahl ℕ ℤ ℚ ℝ –0,7 3 √ ___ 64 2,5 ∙ 10 5 π – 3 __ 4 1,4 13 0,143143… 1,010010001… –2,5 ∙ 10 1 √ ___ 27 20% 23) a) [–4; 2[ -4 2 b) 4 -1 c) 3 -3 24) a) [–10; 10] b) 25) richtig: A, C, D, F, H, I, L, M, N ; falsch: B, E, G, J, K, O, P, Q, R Lösungstext: IM PRATER BLUEHEN WIEDER DIE BAEUME MERKENSWERTES – Reelle Zahlen (Seite 10) n Die Menge der rationalen Zahlen ℚ und die Menge der irrationalen ergeben zusammen die Menge der reellen Zahlen ℝ . Zu den irrationalen Zahlen zählen viele Wurzeln, wie i i √ __ 2, √ __ 3, 3 √ __ 2,… aber auch die Zahl π und unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen, wie 0,010011000111… . Rationale Zahlen lassen sich in Bruchform schreiben, irrationale Zahlen nicht. Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische i Dezimalzahlen. Die ganzen Zahlen ℤ sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen ℚ ; die natürlichen Zahlen ℕ sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen T ℤ . n Im Bereich der rationalen Zahlen ℚ lassen sich alle Rechenoperationen durchführen, mit Ausnahme der Division durch null. Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für das Rechnen mit r rationalen Zahlen. n Für nicht negative Zahlen ist das (Quadrat-)Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens. Die Zahl x ⩾ 0 heißt Quadratwurzel einer Zahl a ⩾ 0, wenn x 2 = a ist. Die Quadratwurzel aus a ist nur dann sinnvoll, wenn a größer oder gleich null ist. Eine Zahl heißt Quadratzahl, wenn sie das Quadrat einer natür- lichen Zahl ist. Oft können Radikanden als Summe oder als Differenz von Quadratzahlen geschrieben werden. Damit lassen sich irrationale Zahlen als Streckenlängen konstruktiv ermitteln und als Punkte auf der Zahlengeraden e e darstellen. Mit den irrationalen Zahlen ist die Zahlengerade voll gefüllt. n Das Berechnen von Kubikwurzeln heißt Kubikwurzelziehen. Eine Zahl heißt Kubikzahl, wenn sie die 3. Potenz einer natürlichen Zahl ist. R I R R A I O N A L E N E C H E N A Ü L C H E N T R E G E L N Q R G D I U D R A Z H L A G N E R D E R U Q A D R T A W Z E W U B U I UW R E Z L N B U H R C F O V L L R M D F E I L L A Z L A L H A Z E D M L E E E N L R F R E E N N Z Z G A T I ML E N N G N Ä G L N E N E H E Z S R T C E K E UK B K I Z A H L N C I H T U K H M E R U N G L Z T A V I S I O N R Ö ß E R A T I O A L N N E 12 23 2 16 11 15 19 14 13 4 3 9 18 17 10 20 22 21 6 5 1 8 7 Nur 21 = 25 – 4 zu Prüfzwecken __ 2 √ ___ 10 __ 2 12 2 √ __ ]–1; 4[ [–3; 3] – Eigentum – √ ___ 35 = – √ ______ 5 1 des Zahlen Z i i i i Verlags 0 1 0 1 0 1 ]–3; 5] öbv